Fiche de révision : Fonctions usuelles

📋 Plan du Cours

1. Logarithme népérien
2. Exponentielle népérienne
3. Logarithmes et exponentielles de base
4. Fonctions puissances et racines
5. Croissances comparées
6. Sinus, cosinus et tangente
7. Identités et équations trigonométriques
8. Fonctions circulaires réciproques
9. Fonctions hyperboliques

📖 1. Logarithme népérien

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien : L’unique fonction définie sur ]0,+∞[ vérifiant $\ln'(x)=\frac{1}{x}$ et $\ln(1)=0$.

★ À maîtriser

📌 Pour x,y>0 et n∈Z, on a $\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)$, $\ln(1/x)=-\ln(x)$ et $\ln(x^n)=n\ln(x)$.

• La fonction ln est continue, dérivable et strictement croissante sur ]0,+∞[, avec $\lim_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty$ et $\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty$.

Compléments

📐 Formule - Les limites de référence du logarithme sont $\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$, $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x}=0$ et $\lim_{x\to0^+}x\ln(x)=0$.

💡 Astuce mémo

Produit → somme : le logarithme simplifie les calculs

📖 2. Exponentielle népérienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Exponentielle népérienne : La fonction exp, réciproque de la bijection ln de ]0,+∞[ vers R, et l’on note $\exp(x)=e^x$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La fonction exponentielle vérifie $\exp'(x)=\exp(x)$ et $e^{x+y}=e^xe^y$ pour tous x,y∈R.

Compléments

📌 Pour tout x∈R, on a $e^{-x}=\frac{1}{e^x}$ et, pour tout n∈Z, $e^{nx}=(e^x)^n$.

• Le nombre de Néper est $e=\exp(1)=2.71828\ldots$.

📐 Formule - Les limites de référence de l’exponentielle sont $\lim_{x\to-\infty}xe^x=0$ et $\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty$.

💡 Astuce mémo

ln transforme un produit en somme, exp transforme une somme en produit

📖 3. Logarithmes et exponentielles de base

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme de base a : Pour a>0 et a≠1, le logarithme de base a est défini par $\log_a(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)}$ sur ]0,+∞[.
• Exponentielle de base a : Pour a>0, l’exponentielle de base a est définie par $\exp_a(x)=e^{x\ln(a)}$, ce qui permet de noter $a^x=\exp_a(x)$.

📝 Points essentiels

📌 Pour a,b>0 et x,y∈R, on a $a^xa^y=a^{x+y}$, $(a^x)^y=a^{xy}$ et $(ab)^x=a^xb^x$.

💡 Astuce mémo

Base a : croissante si a>1, décroissante si 0<a<1

📖 4. Fonctions puissances et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction puissance : Pour α∈R, la fonction puissance est définie sur ]0,+∞[ par $x^\alpha=e^{\alpha\ln(x)}$.
• Racine n-ième : Pour n≥2 et x≥0, la racine n-ième est définie par $\sqrt[n]{x}=x^{1/n}$ et constitue la bijection réciproque de $x\mapsto x^n$ de R+ vers R+.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour α∈R, la dérivée de la fonction puissance est $\frac{d}{dx}(x^\alpha)=\alpha x^{\alpha-1}$ sur ]0,+∞[.

Compléments

📐 Formule - Si α>0, alors $\lim_{x\to0^+}x^\alpha=0$ et $\lim_{x\to+\infty}x^\alpha=+\infty$, tandis que si α<0 les deux limites sont inversées.

💡 Astuce mémo

Puissance → dérivée → limites → racine

📖 5. Croissances comparées

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour tout α>0, on a $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^\alpha}=0$ et $\lim_{x\to0^+}x^\alpha\ln(x)=0^-$.

💡 Astuce mémo

Logarithme ≪ puissance ≪ exponentielle

📖 6. Sinus, cosinus et tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Sinus et cosinus : Sur le cercle trigonométrique, le cosinus et le sinus d’un réel t sont respectivement l’abscisse et l’ordonnée du point associé à l’angle t.
• Tangente : La tangente est définie lorsque $\cos(t)\neq0$ par $\tan(t)=\frac{\sin(t)}{\cos(t)}$.

★ À maîtriser

📌 Pour tout t∈R, $\cos^2(t)+\sin^2(t)=1$, les fonctions sinus et cosinus sont 2π-périodiques, cosinus est paire et sinus est impaire.

📐 Formule - Les dérivées fondamentales sont $\sin'(x)=\cos(x)$ et $\cos'(x)=-\sin(x)$.

Compléments

📐 Formule - Sur son domaine de définition, la dérivée de la tangente vérifie $\tan'(t)=\frac{1}{\cos^2(t)}=1+\tan^2(t)$.

💡 Astuce mémo

Le point tourne sur le cercle : cosinus en abscisse, sinus en ordonnée

📖 7. Identités et équations trigonométriques

★ À maîtriser

📐 Formule - Les formules d’addition sont $\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$ et $\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)$.

📐 Formule - Les formules d’angle double sont $\cos(2a)=2\cos^2(a)-1=1-2\sin^2(a)$ et $\sin(2a)=2\sin(a)\cos(a)$.

📐 Formule - Les équations trigonométriques fondamentales vérifient $\cos(x)=\cos(\theta)\Longleftrightarrow x\equiv\theta\ [2\pi]\text{ ou }x\equiv-\theta\ [2\pi]$ et $\tan(x)=\tan(\theta)\Longleftrightarrow x\equiv\theta\ [\pi]$.

Compléments

📐 Formule - Les formules d’Euler sont $\cos(t)=\frac{e^{it}+e^{-it}}{2}$ et $\sin(t)=\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}$.

📖 8. Fonctions circulaires réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Arcsinus : Pour x∈[-1,1], arcsin(x) est l’unique angle de [-π/2,π/2] dont le sinus vaut x.
• Arccos : Pour x∈[-1,1], arccos(x) est l’unique angle de [0,π] dont le cosinus vaut x.
• Arctangente : Pour x∈R, arctan(x) est l’unique angle de ]−π/2,π/2[ dont la tangente vaut x.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour x∈]-1,1[, on a $\arcsin'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ et arcsin est strictement croissante sur [-1,1].

📐 Formule - Pour x∈]-1,1[, on a $\arccos'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ et, pour x∈[-1,1], $\arccos(x)+\arcsin(x)=\frac{\pi}{2}$.

Compléments

📐 Formule - La dérivée de l’arctangente est $\arctan'(x)=\frac{1}{1+x^2}$ et ses limites sont $\lim_{x\to-\infty}\arctan(x)=-\frac{\pi}{2}$ et $\lim_{x\to+\infty}\arctan(x)=\frac{\pi}{2}$.

💡 Astuce mémo

arcsin sur [-π/2,π/2], arccos sur [0,π], arctan sur ]-π/2,π/2[

📖 9. Fonctions hyperboliques

🔑 Notions clés & Définitions

• Cosinus hyperbolique : Le cosinus hyperbolique est défini sur R par $\operatorname{ch}(t)=\frac{e^t+e^{-t}}{2}$.
• Sinus hyperbolique : Le sinus hyperbolique est défini sur R par $\operatorname{sh}(t)=\frac{e^t-e^{-t}}{2}$.
• Tangente hyperbolique : La tangente hyperbolique est définie sur R par $\operatorname{th}(x)=\frac{\operatorname{sh}(x)}{\operatorname{ch}(x)}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Les dérivées des fonctions hyperboliques vérifient $\operatorname{sh}'(t)=\operatorname{ch}(t)$ et $\operatorname{ch}'(t)=\operatorname{sh}(t)$.

📐 Formule - L’identité fondamentale de la trigonométrie hyperbolique est $\operatorname{ch}^2(t)-\operatorname{sh}^2(t)=1$.

Compléments

📐 Formule - La dérivée de la tangente hyperbolique vérifie $\operatorname{th}'(x)=\frac{1}{\operatorname{ch}^2(x)}=1-\operatorname{th}^2(x)$.

💡 Astuce mémo

Trigonométrie circulaire : cos²+sin²=1 ; hyperbolique : ch²−sh²=1

📊 Tableaux de synthèse

Fonctions circulaires réciproques