Fiche de révision : Fonctions du second degré

📋 Plan du Cours

1. Polynôme du second degré
2. Forme canonique et sommet
3. Racines et discriminant
4. Équations du second degré
5. Signe du trinôme
6. Somme et produit des racines
7. Inéquations du second degré

📖 1. Polynôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Fonction définie sur ℝ par f(x)=ax²+bx+c, où a, b et c sont réels et a≠0.

📝 Points essentiels

• Dans f(x)=x²+2x−3, les coefficients sont a=1, b=2 et c=−3, tandis que dans g(x)=8−2x², ils sont a=−2, b=0 et c=8.

📖 2. Forme canonique et sommet

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Toute fonction polynôme du second degré f(x)=ax²+bx+c s’écrit sous la forme canonique f(x)=a(x−α)²+β, avec a≠0 et α, β réels.

📝 Points essentiels

• Pour obtenir la forme canonique, on factorise a, on complète le carré avec une identité remarquable, on écrit le carré, puis on développe et on réduit.

📐 Formule - Pour f(x)=ax²+bx+c, l’abscisse du sommet est $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et son ordonnée est $\beta=f(\alpha)$.

📌 Si a>0, la parabole est tournée vers le haut et la fonction admet un minimum β en x=α ; si a<0, elle est tournée vers le bas et admet un maximum β en x=α.

💡 Astuce mémo

Une parabole porte son sommet S(α ; β).

📖 3. Racines et discriminant

📝 Points essentiels

📐 Formule - Le discriminant du trinôme ax²+bx+c est $\Delta=b²-4ac$.

• Si Δ>0, le trinôme possède deux racines $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et se factorise en a(x−x₁)(x−x₂).

• Si Δ=0, le trinôme possède une racine double $x_0=-\frac{b}{2a}$ et se factorise en a(x−x₀)².

• Si Δ<0, le trinôme ne possède aucune racine réelle et ne peut pas être factorisé sur ℝ.

💡 Astuce mémo

Δ>0 donne deux racines, Δ=0 une racine double, Δ<0 aucune racine.

📖 4. Équations du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Équation qui s’écrit sous la forme ax²+bx+c=0 avec a≠0, et dont les solutions sont les racines du polynôme associé.

📝 Points essentiels

📌 Résoudre graphiquement f(x)=0 revient à déterminer les abscisses des points d’intersection de la courbe représentative de f avec l’axe des abscisses.

• Pour f(x)=3x²+2x−5, on obtient Δ=64, puis les racines x₁=−5/3 et x₂=1, et la factorisation f(x)=3(x+5/3)(x−1).

💡 Astuce mémo

Calculer Δ, déterminer les racines, puis factoriser.

📖 5. Signe du trinôme

★ À maîtriser

📌 Pour un trinôme à deux racines x₁ et x₂, le signe est celui de a à l’extérieur de l’intervalle délimité par les racines et l’opposé de celui de a entre les racines.

Compléments

• Une fonction dont les racines sont −2 et 1 s’écrit f(x)=a(x+2)(x−1) ; si f(3)=4, alors a=4/5 et f(x)=4/5(x+2)(x−1).

💡 Astuce mémo

Le signe de a détermine l’ouverture de la parabole, donc le signe du trinôme entre ses racines.

📖 6. Somme et produit des racines

★ À maîtriser

📐 Formule - Lorsque Δ>0, la somme des racines vérifie $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et leur produit vérifie $x_1x_2=\frac{c}{a}$.

Compléments

• Pour f(x)=2x²−x−6, 2 est une racine évidente et, comme la somme des racines vaut 1/2, la seconde racine vaut −1,5.

📖 7. Inéquations du second degré

★ À maîtriser

• Pour résoudre une inéquation du second degré, on détermine les racines, on étudie le signe du trinôme selon le signe de a, puis on sélectionne les intervalles satisfaisant l’inégalité.

Compléments

• Pour 2x²−7x+3<0, les racines sont 0,5 et 3 et, comme a>0, l’ensemble solution est ]0,5 ; 3[.

• Pour x²+2x+2≥0, Δ=−4<0 et le trinôme est strictement positif sur ℝ, donc l’ensemble solution est ℝ.

• Pour −x²+4x−4≥0, la racine double est 2 et l’ensemble solution est {2}.

💡 Astuce mémo

Racines, signe de a, intervalles solutions.

📊 Tableaux de synthèse

Cas du discriminant