Fiche de révision : Fonctions du second degré

📋 Plan du Cours

1. Forme canonique et variations
2. Équation et discriminant
3. Signe et inéquations

📖 1. Forme canonique et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction du second degré : s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La forme canonique d’une fonction du second degré est $f(x)=a(x-d)^2+\beta$, avec $d=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=-\frac{\Delta}{4a}=f(d)$.

📌 Si a > 0, la fonction décroît jusqu’à x=d puis croît, et β est son minimum ; si a < 0, elle croît jusqu’à x=d puis décroît, et β est son maximum.

💡 Astuce mémo

a > 0 : minimum β ; a < 0 : maximum β

📖 2. Équation et discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : s’écrit $ax^2+bx+c=0$ avec $a\ne0$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le discriminant de l’équation $ax^2+bx+c=0$ est $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Si Δ > 0, l’équation possède deux solutions $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ ; si Δ = 0, elle possède une solution $x=-\frac{b}{2a}$ ; si Δ < 0, elle ne possède aucune solution réelle.

💡 Astuce mémo

Δ positif, nul, négatif : 2, 1, 0 solution

📖 3. Signe et inéquations

★ À maîtriser

• Pour étudier le signe d’une fonction du second degré, on détermine d’abord le discriminant et les racines éventuelles, puis on utilise le signe de a entre les racines et le signe opposé à a à l’extérieur.

📌 Si Δ > 0, avec deux racines x₁ et x₂, la fonction a le signe de a sur les intervalles extérieurs, s’annule en x₁ et x₂, et a le signe opposé à a entre x₁ et x₂.

Compléments

📌 Si Δ = 0, la fonction s’annule en d = −b/(2a) et conserve le signe de a de part et d’autre de d.

📌 Si Δ < 0, la fonction ne s’annule jamais et conserve partout le signe de a.

💡 Astuce mémo

Le signe de Δ détermine les racines, puis le signe de f

📊 Tableaux de synthèse

Signe selon le discriminant