Fiche de révision : Évolutions successives et réciproques

📋 Plan du Cours

1. Évolution simple et coefficient multiplicateur
2. Évolutions successives et taux global
3. Coefficient et taux réciproques
4. Retrouver la valeur initiale
5. Choisir la méthode de calcul
6. Applications numériques essentielles

📖 1. Évolution simple et coefficient multiplicateur

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d’évolution : Le taux d’évolution entre une valeur initiale Vi et une valeur finale Vf est $t = \frac{V_f - V_i}{V_i}$.
• Coefficient multiplicateur : Le coefficient multiplicateur associé à un taux t est $CM = 1+t = \frac{V_f}{V_i}$, et la valeur finale vérifie $V_f = V_i \times CM$.

📝 Points essentiels

📌 Dans les formules, un taux de p % doit être converti en nombre décimal selon $p\% = \frac{p}{100}$.

• Une hausse de 12 % correspond au coefficient multiplicateur 1,12, tandis qu’une baisse de 7 % correspond au coefficient multiplicateur 0,93.

💡 Astuce mémo

Le taux mesure l’écart, le coefficient transforme directement la valeur

📖 2. Évolutions successives et taux global

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour deux évolutions successives de taux décimaux t1 et t2, le taux global est $t_{global}=t_1+t_2+t_1t_2$.

📐 Formule — Pour n évolutions successives de coefficients CM1, CM2, ..., CMn, le coefficient global est $CM_{global}=CM_1\times CM_2\times\cdots\times CM_n$ et le taux global est $t_{global}=CM_{global}-1$.

• Deux hausses successives de 10 % donnent une hausse globale de 21 %, car $t_{global}=0{,}10+0{,}10+0{,}10\times0{,}10=0{,}21$.

📌 Une hausse de 20 % suivie d’une baisse de 20 % ne ramène pas à la valeur initiale, car $1{,}20\times0{,}80=0{,}96$, soit une baisse finale de 4 %.

Compléments

• Une hausse de 4 %, suivie d’une hausse de 6 %, puis d’une baisse de 3 %, donne $CM_{global}=1{,}04\times1{,}06\times0{,}97=1{,}069328$, soit une hausse globale d’environ 6,93 %.

💡 Astuce mémo

Les coefficients se multiplient → le taux global se déduit

📖 3. Coefficient et taux réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Évolution réciproque : Une évolution qui permet de revenir exactement à la valeur initiale.

★ À maîtriser

📐 Formule — Si une évolution initiale a pour coefficient multiplicateur CM, son coefficient réciproque est $CM_{réciproque}=\frac{1}{CM}$ et son taux réciproque est $t_{réciproque}=\frac{1}{CM}-1$.

📐 Formule — Pour un taux décimal t positif, le taux réciproque d’une hausse de t est $-\frac{t}{1+t}$, tandis que celui d’une baisse de t est $\frac{t}{1-t}$.

• 🔄 Pour calculer un taux réciproque:
  1. Écrire le coefficient multiplicateur initial
  2. Calculer son inverse
  3. Soustraire 1
  4. Exprimer le résultat en pourcentage

Compléments

• Le taux réciproque d’une hausse de 30 % est $-\frac{0{,}30}{1{,}30}\approx-0{,}2308$, soit une baisse d’environ 23,08 %.

• Le taux réciproque d’une baisse de 35 % est $\frac{0{,}35}{0{,}65}\approx0{,}5385$, soit une hausse d’environ 53,85 %.

💡 Astuce mémo

CM initial → inverse → moins 1 → pourcentage

📖 4. Retrouver la valeur initiale

★ À maîtriser

📐 Formule — Puisque $V_f=V_i\times CM$, la valeur initiale se calcule par $V_i=\frac{V_f}{CM}=V_f\times\frac{1}{CM}$.

📌 Après une remise de 15 %, le prix avant remise se retrouve en divisant le prix remisé par 0,85, et non en le majorant de 15 %.

Compléments

• Après une hausse de 8 %, un salaire de 2 160 euros correspond à une valeur initiale de $2160\div1{,}08=2000$ euros.

💡 Astuce mémo

Prix remisé ≠ prix initial : on divise par le coefficient

📖 5. Choisir la méthode de calcul

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour obtenir la valeur après plusieurs évolutions, on utilise $V_f=V_i\times CM_1\times CM_2\times\cdots$.

📐 Formule — Le coefficient global se calcule par $CM_{global}=CM_1\times CM_2\times\cdots$.

📐 Formule — Le taux global se calcule par $t_{global}=CM_{global}-1$.

Compléments

📐 Formule — Le taux permettant de revenir à la valeur initiale est $t_{réciproque}=\frac{1}{CM}-1$.

📖 6. Applications numériques essentielles

📝 Points essentiels

• Les exercices d’application demandent notamment de déterminer les coefficients multiplicateurs correspondant à une hausse de 7 %, une baisse de 12 %, une hausse de 0,8 % et une baisse de 35 %.

• Un produit qui augmente de 6 %, puis de 4 %, constitue un exemple d’évolutions successives à traiter par multiplication des coefficients multiplicateurs.

📊 Tableaux de synthèse

Correspondance entre évolutions et coefficients