Fiche de révision : Fonctions et équations du second degré

📋 Plan du Cours

1. Rappels algébriques du second degré
2. Formes du polynôme du second degré
3. Parabole et variations
4. Résolution par le discriminant
5. Factorisation et racines

📖 1. Rappels algébriques du second degré

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

📌 Pour une équation produit $A\times B=0$, on a nécessairement $A=0$ ou $B=0$.

📌 Pour résoudre $x^2=a$, l'ensemble des solutions est $\{-\sqrt a;\sqrt a\}$ si $a>0$, $\{0\}$ si $a=0$ et l'ensemble vide si $a<0$.

📖 2. Formes du polynôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : fonction définie sur R qui associe à tout réel x l'expression $ax^2+bx+c$, avec a, b et c réels et $a\ne0$
• Forme canonique : expression $a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$

📝 Points essentiels

• Dans le polynôme du second degré $ax^2+bx+c$, a, b et c sont les coefficients du polynôme.

• Pour $f(x)=2x^2-16x+22$, la forme canonique est $f(x)=2(x-4)^2-10$.

💡 Astuce mémo

Forme développée : coefficients visibles ; forme canonique : sommet visible

📖 3. Parabole et variations

📝 Points essentiels

• La courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré est une parabole dont le sommet est $S(\alpha;\beta)$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

• L'axe de symétrie de la parabole est la droite d'équation $x=-\frac{b}{2a}$.

📌 Si $a>0$, la parabole est tournée vers le haut, la fonction décroît jusqu'à α puis croît et admet un minimum β.

💡 Astuce mémo

Signe de a → orientation de la parabole → sens de variation

📖 4. Résolution par le discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : équation qui peut s'écrire $ax^2+bx+c=0$ avec $a\ne0$
• Discriminant : nombre $\Delta=b^2-4ac$

📝 Points essentiels

• Si $\Delta>0$, l'équation possède deux solutions $x_1=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$ et $x_2=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$.

• Si $\Delta=0$, l'équation possède une solution double $x_0=-\frac{b}{2a}$.

• Si $\Delta<0$, l'équation du second degré n'a aucune solution réelle.

💡 Astuce mémo

Δ positif : deux racines ; nul : une racine double ; négatif : aucune racine

📖 5. Factorisation et racines

★ À maîtriser

📌 Si $\Delta>0$, le polynôme se factorise selon $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$.

📌 Si $\Delta<0$, le polynôme ne se factorise pas en produit de facteurs du premier degré.

📐 Formule — Lorsque $\Delta>0$, la somme des racines vérifie $x_1+x_2=-\frac ba$ et leur produit vérifie $x_1x_2=\frac ca$.

Compléments

• Pour le polynôme $2x^2-x-1$, comme 1 est une racine évidente et que le produit des racines vaut $-\frac12$, la seconde racine vaut $-\frac12$.

📊 Tableaux de synthèse

Cas du discriminant