QCM : Fonctions et équations du second degré — 15 questions

Explication

Le carré d’une différence se développe en $a^2-2ab+b^2$. L’expression $a^2+2ab+b^2$ correspond au carré d’une somme, tandis que $a^2-b^2$ provient d’un produit de conjugués.

Explication

Un produit nul implique qu’au moins l’un de ses facteurs est nul : $2x-6=0$ donne $x=3$ et $x+4=0$ donne $x=-4$. Les autres réponses changent le signe d’une ou des deux solutions.

Explication

Un carré réel ne peut pas être égal à un nombre négatif, donc l’équation n’a aucune solution réelle. Deux solutions opposées apparaissent lorsque le second membre est positif, et non lorsqu’il vaut $-9$.

Explication

Une fonction du second degré s’écrit $ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ ; ici, le coefficient de $x^2$ vaut $3$. L’expression $-4x+7$ est affine et les deux autres expressions n’ont pas le degré requis.

Explication

La forme canonique de cette fonction est $2(x-4)^2-10$, avec $\alpha=4$ et $\beta=-10$. Le signe dans la parenthèse et la constante finale doivent être obtenus après développement, ce qui écarte les autres expressions.

Explication

Le sommet est un point de coordonnées $S(\alpha;\beta)$, où $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$. La droite $x=\alpha$ est l’axe de symétrie, et non le sommet lui-même.

Explication

L’axe de symétrie est une droite verticale d’équation $x=-\frac{b}{2a}$. Une équation commençant par $y$ décrit une droite horizontale, et le signe opposé ne correspond pas à l’abscisse du sommet.

Explication

Lorsque $a>0$, la parabole est tournée vers le haut ; la fonction décroît jusqu’à l’abscisse $\alpha$ du sommet, puis croît, avec un minimum égal à $\beta$. La valeur $\beta$ est une ordonnée, elle ne remplace donc pas $\alpha$ dans le tableau de variations.

Explication

Une équation du second degré peut s’écrire sous la forme $ax^2+bx+c=0$ avec $a\ne0$. L’équation $4x-7=0$ est du premier degré, car elle ne comporte pas de terme en $x^2$.

Explication

Le discriminant est calculé avec la formule $\Delta=b^2-4ac$. Les solutions de l’équation sont ensuite déterminées à partir de la valeur obtenue, mais elles ne constituent pas le discriminant.

Explication

Comme $\Delta>0$, les solutions sont $x_1=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$ et $x_2=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$, donc ici $\sqrt{25}=5$. Remplacer $\sqrt\Delta$ par $\Delta$ donnerait des numérateurs incorrects.

Explication

Lorsque le discriminant est nul, les deux solutions se confondent en une solution double $x_0=-\frac{b}{2a}$. L’absence de solution réelle correspond au cas $\Delta<0$, tandis que deux solutions distinctes apparaissent lorsque $\Delta>0$.

Explication

Avec $\Delta>0$, le polynôme possède deux racines et se factorise sous la forme $a(x-x_1)(x-x_2)$. Des signes positifs devant les racines modifieraient les zéros du polynôme et ne correspondraient pas à cette factorisation.

Explication

Si $\Delta<0$, l’équation n’a aucune solution réelle et le polynôme ne se factorise pas en facteurs du premier degré réels. Pour $\Delta>0$, deux racines réelles permettent au contraire une telle factorisation.

Explication

Lorsque $\Delta>0$, la somme des racines vaut $-\frac ba$ et leur produit vaut $\frac ca$. Inverser ces rapports ou leurs signes ne respecte pas les relations entre les coefficients et les racines.