QCM : Arithmétique et divisibilité — 13 questions

Questions et réponses du QCM

1. Concernant les fondements de l’arithmétique, quelle proposition est exacte ?

L’arithmétique décrit les phénomènes physiques au moyen de grandeurs mesurables.
L’arithmétique analyse les organismes vivants et leurs interactions.
L’arithmétique étudie les nombres entiers naturels ou relatifs et leurs propriétés.
L’arithmétique s’intéresse aux réactions chimiques et à leur vitesse.
L’arithmétique étudie principalement les figures géométriques et leurs transformations.

L’arithmétique étudie les nombres entiers naturels ou relatifs et leurs propriétés.

Explication

L’arithmétique étudie les entiers naturels ou relatifs ainsi que leurs propriétés individuelles ou mutuelles. Les autres propositions attribuent à l’arithmétique des objets qui relèvent d’autres domaines mathématiques.

2. À propos du principe du bon ordre :

Toute partie non vide des entiers naturels possède un plus petit élément.
Toute partie non vide des entiers naturels possède un plus grand élément.
Toute partie non vide des entiers relatifs possède un plus petit élément.
Toute suite décroissante d’entiers naturels devient stationnaire à partir d’un certain rang.
Une répartition de n+1n+1 objets dans nn tiroirs donne un tiroir doublement occupé.

Toute partie non vide des entiers naturels possède un plus petit élément.

Explication

Le principe du bon ordre concerne toute partie non vide des entiers naturels et garantit l’existence d’un plus petit élément. Il ne décrit ni une suite décroissante, ni une répartition d’objets dans des tiroirs, ni une propriété des entiers relatifs.

3. Concernant les principes de descente infinie et des tiroirs, cochez les propositions exactes :

Avec nn objets dans n+1n+1 tiroirs, un tiroir contient au moins deux objets.
Le principe des tiroirs affirme qu’avec n+1n+1 objets dans nn tiroirs, un tiroir contient au moins deux objets.
Une suite strictement croissante d’entiers naturels devient stationnaire à partir d’un certain rang.
Le principe des tiroirs concerne une partie non vide des entiers naturels.
Une suite strictement décroissante d’entiers naturels devient stationnaire à partir d’un certain rang.

Le principe des tiroirs affirme qu’avec $$n+1$$ objets dans $$n$$ tiroirs, un tiroir contient au moins deux objets. · Une suite strictement décroissante d’entiers naturels devient stationnaire à partir d’un certain rang.

Explication

La descente infinie affirme qu’une suite strictement décroissante d’entiers naturels est stationnaire à partir d’un certain rang. Le principe des tiroirs concerne les objets et les cases, tandis que le bon ordre concerne le plus petit élément d’une partie non vide.

4. Les caractéristiques des principes fondamentaux de l’arithmétique comprennent :

Avec n+1n+1 objets dans nn tiroirs, un tiroir contient au moins deux objets.
Toute partie non vide des entiers naturels possède un plus petit élément.
Une suite strictement décroissante d’entiers naturels devient stationnaire à partir d’un certain rang.
Avec nn objets dans n+1n+1 tiroirs, un tiroir contient au moins deux objets.
Les premières traces archéologiques de l’arithmétique datent d’environ 25002500 ans avant J.-C.

Avec $$n+1$$ objets dans $$n$$ tiroirs, un tiroir contient au moins deux objets. · Toute partie non vide des entiers naturels possède un plus petit élément. · Une suite strictement décroissante d’entiers naturels devient stationnaire à partir d’un certain rang.

Explication

Le principe des tiroirs affirme qu’avec n+1n+1 objets répartis dans nn tiroirs, un tiroir contient au moins deux objets. Le principe du bon ordre porte sur le plus petit élément d’une partie non vide, et la descente infinie sur une suite strictement décroissante.

5. Concernant la définition des multiples et des diviseurs, cochez les propositions exactes :

Un entier mm est multiple de aa s’il existe un entier relatif kk tel que m=kam=ka.
Un entier relatif non nul dd est diviseur de aa s’il existe kk tel que a=kda=kd.
Le diviseur dd peut être nul dans l’écriture a=kda=kd.
La notation D(a)D(a) désigne l’ensemble des multiples de aa.
Un entier mm est multiple de aa s’il existe un entier naturel kk tel que a=kma=km.

Un entier $$m$$ est multiple de $$a$$ s’il existe un entier relatif $$k$$ tel que $$m=ka$$. · Un entier relatif non nul $$d$$ est diviseur de $$a$$ s’il existe $$k$$ tel que $$a=kd$$.

Explication

Un entier mm est multiple de aa lorsqu’il existe un entier relatif kk tel que m=kam=ka. La notation D(a)D(a) désigne les diviseurs de aa, tandis que le diviseur est l’entier non nul qui intervient dans l’écriture du dividende.

6. Parmi les propositions suivantes concernant la divisibilité, lesquelles sont exactes ?

Le diviseur dd est un entier relatif non nul vérifiant a=kda=kd.
L’ensemble des multiples de aa se note M(a)M(a).
L’ensemble des diviseurs positifs de aa se note M+(a)M^+(a).
L’ensemble des diviseurs de aa se note M(a)M(a).
Le dividende aa doit être un entier relatif non nul dans l’écriture a=kda=kd.

Le diviseur $$d$$ est un entier relatif non nul vérifiant $$a=kd$$. · L’ensemble des multiples de $$a$$ se note $$M(a)$$.

Explication

Un diviseur dd est non nul et vérifie a=kda=kd pour un entier relatif kk. Les ensembles de multiples et de diviseurs sont distingués par les notations M(a)M(a) et D(a)D(a), et le coefficient peut être relatif plutôt que naturel.

7. Concernant la transitivité et les combinaisons linéaires dans la divisibilité :

Si a∣ba\mid b et c∣bc\mid b, alors a∣ca\mid c.
Si a∣ba\mid b, alors ∣a∣≤∣b∣|a|\leq |b|.
Si a∣ba\mid b et a∣ca\mid c, alors aa divise toute combinaison linéaire de bb et cc.
Une combinaison linéaire de aa et bb s’écrit au+bvau+bv pour des entiers uu et vv.
Si a∣ba\mid b et b∣cb\mid c, alors a∣ca\mid c.

Si $$a\mid b$$ et $$a\mid c$$, alors $$a$$ divise toute combinaison linéaire de $$b$$ et $$c$$. · Une combinaison linéaire de $$a$$ et $$b$$ s’écrit $$au+bv$$ pour des entiers $$u$$ et $$v$$. · Si $$a\mid b$$ et $$b\mid c$$, alors $$a\mid c$$.

Explication

La divisibilité est transitive : de a∣ba\mid b et b∣cb\mid c, on déduit a∣ca\mid c. Une combinaison linéaire de bb et cc reste divisible par aa lorsque aa divise chacun d’eux, et une simple comparaison numérique ne remplace pas la divisibilité.

8. Au sujet des propriétés générales de la divisibilité, cochez les propositions exactes :

Si a∣ba\mid b et a∣ca\mid c, alors aa divise toute combinaison linéaire de bb et cc.
Deux entiers qui se divisent mutuellement sont égaux ou opposés.
Une combinaison linéaire de aa et bb s’écrit au+bvau+bv avec u,vu,v entiers relatifs.
Si a∣ba\mid b et b∣cb\mid c, alors c∣ac\mid a.
Si a∣ba\mid b, alors ∣a∣≤∣b∣|a|\leq |b|.

Si $$a\mid b$$ et $$a\mid c$$, alors $$a$$ divise toute combinaison linéaire de $$b$$ et $$c$$. · Deux entiers qui se divisent mutuellement sont égaux ou opposés. · Une combinaison linéaire de $$a$$ et $$b$$ s’écrit $$au+bv$$ avec $$u,v$$ entiers relatifs. · Si $$a\mid b$$, alors $$|a|\leq |b|$$.

Explication

Deux entiers se divisent mutuellement si et seulement si ils sont égaux ou opposés. La divisibilité impose aussi une inégalité entre valeurs absolues, et une combinaison linéaire de aa et bb est de la forme au+bvau+bv.

9. Concernant le théorème de division euclidienne, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Le diviseur bb est un entier naturel non nul dans toute division euclidienne.
L’écriture euclidienne s’exprime sous la forme a=bq+ra=bq+r.
Le quotient qq et le reste rr peuvent former plusieurs couples valides pour un même aa et bb.
Le dividende aa appartient nécessairement aux entiers naturels non nuls.
Le reste rr vérifie l’encadrement 0≤r<b0\le r<b.

Le diviseur $$b$$ est un entier naturel non nul dans toute division euclidienne. · L’écriture euclidienne s’exprime sous la forme $$a=bq+r$$. · Le reste $$r$$ vérifie l’encadrement $$0\le r<b$$.

Explication

Le théorème garantit, pour tout entier relatif aa et tout entier naturel non nul bb, l’existence et l’unicité de qq et rr vérifiant a=bq+ra=bq+r et 0≤r<b0\le r<b. Le dividende peut donc être négatif, tandis que le diviseur doit être naturel non nul.

10. À propos des applications de la division euclidienne :

La divisibilité de aa par bb équivaut à un reste nul.
L’ensemble des restes possibles commence à 11 et se termine à bb.
Un reste non nul suffit à établir que bb divise aa.
Le reste d’une division par bb peut prendre la valeur bb.
Une division par bb admet exactement bb valeurs possibles pour le reste.

La divisibilité de $$a$$ par $$b$$ équivaut à un reste nul. · Une division par $$b$$ admet exactement $$b$$ valeurs possibles pour le reste.

Explication

Dans une division par bb, le reste appartient à {0,1,…,b−1}\{0,1,\ldots,b-1\}, qui comporte exactement bb valeurs. Un entier est divisible par bb lorsque ce reste est nul.

11. Si nn a pour reste 99 et pp pour reste 88 dans une division par 1313 :

Le reste de n+pn+p modulo 1313 est 1717.
Le reste de 2n+3p2n+3p modulo 1313 est 55.
Le reste de 2n+3p2n+3p modulo 1313 est 33.
Le reste de −3n+2p-3n+2p modulo 1313 est 22.
Le reste de n+pn+p modulo 1313 est 44.

Le reste de $$2n+3p$$ modulo $$13$$ est $$3$$. · Le reste de $$-3n+2p$$ modulo $$13$$ est $$2$$. · Le reste de $$n+p$$ modulo $$13$$ est $$4$$.

Explication

Les calculs modulo 1313 donnent n+p≡9+8≡4n+p\equiv9+8\equiv4, 2n+3p≡18+24≡32n+3p\equiv18+24\equiv3 et −3n+2p≡−27+16≡2-3n+2p\equiv-27+16\equiv2. Les coefficients modifient donc le reste de la combinaison, sans modifier les restes initiaux de nn et pp.

12. Si un entier divise à la fois 2n+72n+7 et 3n+23n+2, quelles conclusions sont exactes ?

La combinaison précédente est égale à 1717.
Il divise nécessairement 77.
Il divise nécessairement 1717.
Il divise la combinaison 3(2n+7)−2(3n+2)3(2n+7)-2(3n+2).
Il divise nécessairement nn.

La combinaison précédente est égale à $$17$$. · Il divise nécessairement $$17$$. · Il divise la combinaison $$3(2n+7)-2(3n+2)$$.

Explication

La combinaison linéaire 3(2n+7)−2(3n+2)3(2n+7)-2(3n+2) vaut 1717. Tout diviseur commun de 2n+72n+7 et 3n+23n+2 divise donc cette combinaison, et par conséquent divise 1717.

13. À propos des restes modulo 88 des puissances entières, quelles sont les propositions exactes ?

Si nn est impair, le reste de n4n^4 modulo 88 vaut 11.
Les restes possibles de n2n^2 modulo 88 comprennent 22.
Pour un entier impair, le reste de n4n^4 modulo 88 vaut 44.
Le carré d’un entier peut avoir le reste 33 modulo 88.
Les restes possibles de n2n^2 modulo 88 sont 0,10,1 et 44.

Si $$n$$ est impair, le reste de $$n^4$$ modulo $$8$$ vaut $$1$$. · Les restes possibles de $$n^2$$ modulo $$8$$ sont $$0,1$$ et $$4$$.

Explication

Les restes possibles de n2n^2 modulo 88 sont 0,10,1 et 44. Pour un entier impair, n4n^4 laisse le reste 11 dans la division par 88, ce qui exclut les restes 00 et 44 dans ce cas.

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Qu'est-ce que l'arithmétique étudie principalement ?

Les nombres entiers naturels ou relatifs et leurs propriétés.

Depuis quand datent les premières traces archéologiques de l'arithmétique ?

2500 ans avant J.-C.

Que garantit le principe du bon ordre pour les entiers naturels ?

Toute partie non vide admet un plus petit élément.

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