Qu'est-ce que l'arithmétique étudie principalement ?
Les nombres entiers naturels ou relatifs et leurs propriétés.
Depuis quand datent les premières traces archéologiques de l'arithmétique ?
2500 ans avant J.-C.
Que garantit le principe du bon ordre pour les entiers naturels ?
Toute partie non vide admet un plus petit élément.
Que dit le principe de descente infinie sur une suite strictement décroissante d'entiers naturels ?
Elle devient stationnaire à partir d'un certain rang.
Que stipule le principe des tiroirs concernant n tiroirs et n + 1 objets ?
Au moins un tiroir contient au moins deux objets.
Qu'impose l'existence de k pour que m soit multiple de a ?
Il existe un entier relatif k tel que m = ka.
Quelle condition définit un diviseur d selon la divisibilité ?
Il existe un entier relatif k tel qu'a = kd.
Comment note-t-on que d divise a ?
On note d divise a par d | a.
Comment s'appelle l'ensemble des multiples de a ?
L'ensemble des multiples de a se note M(a).
Quelle notation désigne l'ensemble des multiples positifs de a ?
L'ensemble des multiples positifs de a se note M⁺(a).
Quelle notation désigne l'ensemble des diviseurs de a ?
L'ensemble des diviseurs de a se note D(a).
Quelle notation désigne l'ensemble des diviseurs positifs de a ?
L'ensemble des diviseurs positifs de a se note D⁺(a).
Par quels entiers tout entier est-il divisible ?
Tout entier est divisible par 1.
Quel multiple est tout entier ?
Tout entier est un multiple de 0.
Que vaut la relation entre |a| et |b| si a divise b ?
Alors |a| ≤ |b|.
Quand deux entiers a et b se divisent-ils mutuellement ?
Si et seulement si a = b ou a = −b.
Qu'impose la transitivité de la divisibilité ?
Si a divise b et b divise c, alors a divise c.
Qu'appelle-t-on une combinaison linéaire de a et b ?
L'entier au + bv pour u,v entiers relatifs.
Que divise a si a divise b et c ?
Toute combinaison linéaire de b et c.
Quelle relation existe entre a, b, q et r en division euclidienne ?
avec .
Que consiste à faire la division euclidienne de a par b ?
Déterminer l’unique couple (q,r) tel que et .
Quels sont les rôles de a, b, q et r dans une division euclidienne ?
a est le dividende, b le diviseur, q le quotient, r le reste.
Comment démontre-t-on l’unicité de la division euclidienne ?
En comparant deux écritures et en utilisant l’encadrement des restes pour obtenir puis .
À quels entiers appartient le reste dans une division euclidienne par b ?
Le reste appartient à l'ensemble {0, 1, 2, ..., b - 1}.
Combien de restes possibles contient l'ensemble des restes en division euclidienne par b ?
L'ensemble contient exactement b restes possibles.
Quelle condition caractérise la divisibilité de a par b en division euclidienne ?
Le reste de la division euclidienne de a par b est nul.
Comment s'écrit la division euclidienne de 67 par 12 ?
67 = 12 × 5 + 7.
Pourquoi 7 est-il un reste valide dans la division euclidienne de 67 par 12 ?
Parce que 0 ≤ 7 < 12.
Quels sont les couples (diviseur, reste) possibles si 439 a pour quotient 13 ?
Les couples possibles sont (33, 0) et (32, 23).
Quel est le reste de n + p modulo 13 si n reste 9 et p reste 8 ?
Le reste est 4.
Quel est le reste de 2n + 3p modulo 13 si n reste 9 et p reste 8 ?
Le reste est 3.
Quel est le reste de −3n + 2p modulo 13 si n reste 9 et p reste 8 ?
Le reste est 2.
Quels entiers n vérifient que 3n − 5 divise 4 ?
Les entiers sont 1, 2 et 3.
Pourquoi 91n + 5 n’est-il jamais divisible par 13 ?
Parce que cela impliquerait que 13 divise 5.
Que divise tout entier qui divise à la fois 2n + 7 et 3n + 2 ?
Il divise 17.
Quels sont les restes possibles de n² modulo 8 ?
Les restes possibles sont 0, 1 et 4.
Quel est le reste de n⁴ modulo 8 si n est impair ?
Le reste est 1.
Teste tes connaissances avec un QCM de 13 questions sur Arithmétique et divisibilité.
1. Concernant les fondements de l’arithmétique, quelle proposition est exacte ?
2. À propos du principe du bon ordre :
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