Fiche de révision : Arithmétique et divisibilité

📋 Plan du Cours

1. Fondements de l’arithmétique
2. Définitions de la divisibilité
3. Propriétés de la divisibilité
4. Théorème de division euclidienne
5. Applications de la division euclidienne
6. Calculs de restes et divisibilité

📖 1. Fondements de l’arithmétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Arithmétique : Étude des nombres entiers naturels ou relatifs et de leurs propriétés individuelles ou mutuelles.

★ À maîtriser

• Le principe du bon ordre affirme que toute partie non vide de l’ensemble des entiers naturels admet un plus petit élément.

• Le principe de descente infinie affirme que toute suite strictement décroissante d’entiers naturels est stationnaire à partir d’un certain rang.

• Le principe des tiroirs affirme que si n tiroirs contiennent n + 1 objets, alors au moins un tiroir contient au moins deux objets.

Compléments

• Les premières traces archéologiques de l’étude de l’arithmétique datent de 2500 ans avant J.-C.

💡 Astuce mémo

B-D-T : bon ordre, descente, tiroirs

📖 2. Définitions de la divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple : Un entier m est un multiple de l’entier a s’il existe un entier relatif k tel que m = ka.
• Diviseur : Entier relatif non nul d tel qu’il existe un entier relatif k vérifiant a = kd, ce qui se note d divise a.

📝 Points essentiels

• L’ensemble des multiples de a se note M(a), celui des multiples positifs se note M⁺(a), l’ensemble des diviseurs de a se note D(a) et celui des diviseurs positifs se note D⁺(a).

💡 Astuce mémo

Multiple : résultat obtenu ; diviseur : facteur utilisé

📖 3. Propriétés de la divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Combinaison linéaire : Pour u et v entiers relatifs, l’entier au + bv est appelé une combinaison linéaire de a et b.

★ À maîtriser

• Tout entier est divisible par 1 et tout entier est un multiple de 0.

• Deux entiers a et b se divisent mutuellement si et seulement si a = b ou a = −b.

• La divisibilité est transitive : si a divise b et b divise c, alors a divise c.

• Si a divise b et c, alors a divise toute combinaison linéaire de b et c.

Compléments

📌 Si a divise b, alors |a| ≤ |b|.

💡 Astuce mémo

Diviser → transmettre aux multiples → combiner linéairement

📖 4. Théorème de division euclidienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : Effectuer la division euclidienne de a par b consiste à déterminer l’unique couple (q,r) tel que a = bq + r et 0 ≤ r < b.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout entier relatif a et tout entier naturel non nul b, il existe un unique couple (q,r) d’entiers tel que $a=bq+r$ et $0\le r<b$.

Compléments

• Dans une division euclidienne, a est le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste.

• L’unicité de la division euclidienne se démontre en comparant deux écritures a = bq + r = bq' + r' et en utilisant l’encadrement des restes pour obtenir q = q' puis r = r'.

💡 Astuce mémo

Existence du couple ; unicité du quotient et du reste

📖 5. Applications de la division euclidienne

★ À maîtriser

• Dans une division euclidienne par b, le reste appartient à l’ensemble {0, 1, 2, ..., b − 1}, qui contient exactement b restes possibles.

📌 Un entier b divise a si et seulement si le reste de la division euclidienne de a par b est nul.

Compléments

• La division euclidienne de 67 par 12 est 67 = 12 × 5 + 7, car 0 ≤ 7 < 12.

• Si 439 a pour quotient 13 dans une division euclidienne, les couples (diviseur, reste) possibles sont (33, 0) et (32, 23).

💡 Astuce mémo

Encadrer → déterminer les valeurs possibles → vérifier

📖 6. Calculs de restes et divisibilité

★ À maîtriser

• Si n a pour reste 9 et p pour reste 8 dans une division par 13, alors n + p a pour reste 4, 2n + 3p a pour reste 3 et −3n + 2p a pour reste 2 modulo 13.

📌 Pour tout entier n, 91n + 5 n’est pas divisible par 13, car une telle divisibilité impliquerait que 13 divise 5.

• Si un entier divise à la fois 2n + 7 et 3n + 2, alors il divise 17, car il divise la combinaison linéaire 3(2n + 7) − 2(3n + 2) = 17.

• Les restes possibles de la division de n² par 8 sont 0, 1 et 4.

📌 Si n est impair, alors le reste de la division de n⁴ par 8 est égal à 1.

Compléments

• Les entiers n tels que 3n − 5 divise 4 sont n ∈ {1, 2, 3}.

💡 Astuce mémo

Même diviseur → combinaison des restes → nouveau reste

📊 Tableaux de synthèse

Éléments de la division euclidienne