QCM : Fonctions d'une variable réelle — 10 questions

Question 1

1. Quelle expression permet de calculer le discriminant de l’équation $ax^2+bx+c=0$ ?

\Delta=2b-4ac

\Delta=b^2-4ac

\Delta=b^2+4ac

\Delta=4ac-b^2

Explication

Le discriminant se calcule avec la relation $\Delta=b^2-4ac$ . Il sert ensuite à déterminer le nombre de solutions réelles, mais il ne fournit pas directement leurs valeurs.

Answer

$$\Delta=b^2-4ac$$

Question 2

2. Quelle est la dérivée de la fonction constante définie par $f(x)=7$ ?

f'(x)=7

f'(x)=x

f'(x)=0

f'(x)=1

Explication

Une fonction constante ne varie pas lorsque $x$ change, donc son taux de variation est nul et $f'(x)=0$ . L’expression $f'(x)=7$ confond la valeur constante de la fonction avec sa dérivée.

Answer

$$f'(x)=0$$

Question 3

3. Quelle est la solution d’une équation du second degré lorsque $\Delta=0$ ?

Aucune solution réelle, car la racine du discriminant est négative

Deux solutions opposées données par

x_1=\frac{b}{2a}

et

x_2=\frac{-b}{2a}

Une solution double

x_0=\frac{-b}{2a}

Deux solutions distinctes

x_1=\frac{-b}{a}

et

x_2=0

Explication

Pour $\Delta=0$ , les deux solutions se confondent en une solution double égale à $\frac{-b}{2a}$ . Le cas sans solution réelle intervient lorsque $\Delta<0$ , et non lorsque le discriminant est nul.

Answer

Une solution double $$x_0=\frac{-b}{2a}$$

Question 4

4. Que représente $f'(3)$ pour la courbe de la fonction $f$ ?

Le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse 3

La valeur de la fonction constante associée à la courbe

L’ordonnée du point de la courbe d’abscisse 3

L’abscisse du point où la courbe rencontre la tangente

Explication

La valeur $f'(3)$ mesure le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse 3. La valeur $f(3)$ correspond, quant à elle, à l’ordonnée de ce point et ne doit pas être confondue avec la dérivée.

Answer

Le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse 3

Question 5

5. Comment détermine-t-on l’ordonnée à l’origine $b$ d’une droite d’équation $y=ax+b$ lorsqu’un point de la droite est connu ?

Calculer le rapport des variations d’ordonnée et d’abscisse, puis appeler ce résultat

b

.

Résoudre l’équation

ax+b=0

, puis prendre la valeur obtenue comme

b

.

Remplacer les coordonnées du point dans

y=ax+b

, puis isoler

b

.

Remplacer les coordonnées du point dans

y=bx+a

, puis isoler

a

.

Explication

En substituant les coordonnées d’un point connu dans $y=ax+b$ , on obtient une équation permettant d’isoler $b$ . Le rapport des variations donne le coefficient directeur $a$ , tandis que l’ordonnée à l’origine est le terme constant.

Answer

Remplacer les coordonnées du point dans $$y=ax+b$$, puis isoler $$b$$.

Question 6

6. Comment calcule-t-on le coefficient directeur d’une droite passant par deux points distincts $A(x_a;y_a)$ et $B(x_b;y_b)$ ?

a=\frac{x_a+y_a}{x_b+y_b}

a=\frac{x_b-x_a}{y_b-y_a}

a=\frac{y_b+y_a}{x_b+x_a}

a=\frac{y_b-y_a}{x_b-x_a}

Explication

Le coefficient directeur est le rapport de la variation de l’ordonnée à la variation de l’abscisse, soit $\frac{y_b-y_a}{x_b-x_a}$ . L’expression inverse mesure un rapport différent et ne donne pas la pente de la droite.

Answer

$$a=\frac{y_b-y_a}{x_b-x_a}$$

Question 7

7. Quelle démarche permet d’étudier les variations d’une fonction ?

Calculer les images de quelques nombres, puis relier les points obtenus.

Calculer sa dérivée, repérer ses zéros et étudier le signe de cette dérivée.

Résoudre l’équation de la fonction, puis comparer ses coefficients.

Étudier le signe de la fonction, puis repérer ses intersections avec l’axe des abscisses.

Explication

L’étude des variations repose sur le calcul de la dérivée, la recherche des valeurs où elle s’annule et l’analyse de son signe. Le signe de la fonction indique plutôt la position de sa courbe par rapport à l’axe des abscisses.

Answer

Calculer sa dérivée, repérer ses zéros et étudier le signe de cette dérivée.

Question 8

8. Pour une équation du second degré dont le discriminant est positif, quelles formules donnent ses deux solutions ?

x_1=\frac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}

et

x_2=\frac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}

x_1=\frac{-b-\Delta}{2a}

et

x_2=\frac{-b+\Delta}{2a}

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{a}

et

x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{a}

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}

et

x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

Explication

Lorsque $\Delta>0$ , les deux solutions s’obtiennent en ajoutant puis en retranchant $\sqrt{\Delta}$ à $-b$ , avec un dénominateur égal à $2a$ . Remplacer la racine par $\Delta$ ou omettre le facteur 2 conduit à des expressions incorrectes.

Answer

$$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$ et $$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$

Question 9

9. Que déduit-on d’une dérivée négative sur un intervalle ?

La fonction est décroissante sur cet intervalle.

La fonction est constante sur cet intervalle.

La fonction est croissante sur cet intervalle.

La fonction est positive sur cet intervalle.

Explication

Une dérivée négative traduit une décroissance de la fonction sur l’intervalle considéré. Une dérivée positive indique une croissance, tandis qu’une dérivée nulle correspond à une fonction constante dans le cadre de cette règle.

Answer

La fonction est décroissante sur cet intervalle.

Question 10

10. Que peut-on conclure lorsqu’une équation du second degré vérifie $\Delta<0$ ?

Elle n’a pas de solution réelle.

Elle possède une solution réelle double.

Elle possède deux solutions réelles distinctes.

Elle possède une solution réelle égale à

-b/(2a)

.

Explication

Un discriminant négatif indique que l’équation ne possède aucune solution dans l’ensemble des réels. La présence de deux solutions réelles correspond au cas $\Delta>0$ , tandis qu’une solution double correspond à $\Delta=0$ .

Answer

Elle n’a pas de solution réelle.

QCM : Fonctions d'une variable réelle — 10 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle expression permet de calculer le discriminant de l’équation $ax^2+bx+c=0$ ?

2. Quelle est la dérivée de la fonction constante définie par $f(x)=7$ ?

3. Quelle est la solution d’une équation du second degré lorsque $\Delta=0$ ?

4. Que représente $f'(3)$ pour la courbe de la fonction $f$ ?

5. Comment détermine-t-on l’ordonnée à l’origine $b$ d’une droite d’équation $y=ax+b$ lorsqu’un point de la droite est connu ?

6. Comment calcule-t-on le coefficient directeur d’une droite passant par deux points distincts $A(x_a;y_a)$ et $B(x_b;y_b)$ ?

7. Quelle démarche permet d’étudier les variations d’une fonction ?

8. Pour une équation du second degré dont le discriminant est positif, quelles formules donnent ses deux solutions ?

9. Que déduit-on d’une dérivée négative sur un intervalle ?

10. Que peut-on conclure lorsqu’une équation du second degré vérifie $\Delta<0$ ?

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Questions et réponses du QCM

1. Quelle expression permet de calculer le discriminant de l’équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 ?

2. Quelle est la dérivée de la fonction constante définie par f(x)=7f(x)=7f(x)=7 ?

3. Quelle est la solution d’une équation du second degré lorsque Δ=0\Delta=0Δ=0 ?

4. Que représente f′(3)f'(3)f′(3) pour la courbe de la fonction fff ?

5. Comment détermine-t-on l’ordonnée à l’origine bbb d’une droite d’équation y=ax+by=ax+by=ax+b lorsqu’un point de la droite est connu ?

6. Comment calcule-t-on le coefficient directeur d’une droite passant par deux points distincts A(xa;ya)A(x_a;y_a)A(xa​;ya​) et B(xb;yb)B(x_b;y_b)B(xb​;yb​) ?

7. Quelle démarche permet d’étudier les variations d’une fonction ?

8. Pour une équation du second degré dont le discriminant est positif, quelles formules donnent ses deux solutions ?

9. Que déduit-on d’une dérivée négative sur un intervalle ?

10. Que peut-on conclure lorsqu’une équation du second degré vérifie Δ<0\Delta<0Δ<0 ?

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2. Quelle est la dérivée de la fonction constante définie par $f(x)=7$ ?

3. Quelle est la solution d’une équation du second degré lorsque $\Delta=0$ ?

4. Que représente $f'(3)$ pour la courbe de la fonction $f$ ?

5. Comment détermine-t-on l’ordonnée à l’origine $b$ d’une droite d’équation $y=ax+b$ lorsqu’un point de la droite est connu ?

6. Comment calcule-t-on le coefficient directeur d’une droite passant par deux points distincts $A(x_a;y_a)$ et $B(x_b;y_b)$ ?

10. Que peut-on conclure lorsqu’une équation du second degré vérifie $\Delta<0$ ?