Fiche de révision : Fonctions d'une variable réelle

📋 Plan du Cours

1. Équations du second degré
2. Signe et variations d’une fonction
3. Fonctions affines et coefficient directeur
4. Dérivée et tangente

📖 1. Équations du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : d’une équation du second degré $ax^2+bx+c=0$ est $\Delta=b^2-4ac$.

★ À maîtriser

📌 Si $\Delta<0$, l’équation du second degré n’a pas de solution dans l’ensemble des réels.

📐 Formule — Si $\Delta>0$, les deux solutions sont $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

📌 Si $\Delta=0$, l’équation possède une solution double $x_0=\frac{-b}{2a}$.

Compléments

• Pour $f(x)=-x^2+3x-2$, on obtient $\Delta=1$ et les solutions sont $x=1$ et $x=2$.

💡 Astuce mémo

Calculer Δ, puis distinguer Δ<0, Δ=0 et Δ>0

📖 2. Signe et variations d’une fonction

★ À maîtriser

• Pour étudier les variations d’une fonction, on calcule sa dérivée, on cherche les valeurs où elle s’annule, puis on utilise le signe de la dérivée pour déterminer les intervalles de croissance et de décroissance.

📌 Une dérivée positive correspond à une fonction croissante, une dérivée nulle à une fonction constante et une dérivée négative à une fonction décroissante.

Compléments

• Pour $f(x)=-x^2+3x+2$, la dérivée est $f'(x)=-2x+3$ et elle s’annule pour $x=1{,}5$.

• Pour $f(x)=-x^2+3x+2$, la dérivée est positive avant 1,5 et négative après 1,5.

💡 Astuce mémo

Signe de f' → sens de variation de f

📖 3. Fonctions affines et coefficient directeur

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient directeur : le rapport de la variation de l’ordonnée sur la variation de l’abscisse, soit $a=\frac{y_b-y_a}{x_b-x_a}$.

★ À maîtriser

📌 Pour déterminer l’ordonnée à l’origine d’une droite d’équation $y=ax+b$, on remplace x et y par les coordonnées d’un point connu de la droite.

Compléments

• Pour la droite $y=-\frac{1}{3}x+b$ passant par le point $A(-1;-2)$, le calcul donne $b=-\frac{5}{3}$.

📖 4. Dérivée et tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée en un point : le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse 3.

📝 Points essentiels

• La dérivée de la fonction constante $f(x)=7$ est nulle : $f'(x)=0$.