Fiche de révision : Cours 1 calculus 1

📋 Plan du Cours

1. Définition et représentations des fonctions
2. Applications et fonctions composées
3. Bijections et fonctions réciproques
4. Limites et dérivées des réciproques
5. Parité, périodicité et variations
6. Bornes et extrema
7. Fonctions usuelles et graphes

📖 1. Définition et représentations des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Une fonction de A vers B associe à chaque élément de A au plus un élément de B, et se note f : x ↦ y = f(x).
• Domaine de définition : Plus grand sous-ensemble de A dont tous les éléments sont associés à un élément de B par f.
• Ensemble image : L’ensemble image de f est $\operatorname{Im}(f)=\{f(x)\mid x\in D(f)\}$.
• Graphe d’une fonction : Le graphe de f est l’ensemble $G_f=\{(x,y)\in A\times B\mid x\in A,\ y=f(x)\}$.

★ À maîtriser

📌 Dans une fonction f : A → B, A est l’ensemble de départ, B l’ensemble d’arrivée, x est l’antécédent de y et f(x) est l’image de x.

Compléments

• Une fonction peut être définie par:
  • une table de valeurs
  • un diagramme
  • une formule algébrique
  • une courbe
  • un algorithme

📖 2. Applications et fonctions composées

🔑 Notions clés & Définitions

• Application : Fonction de domaine D(f) dans B telle que chaque élément de D(f) possède une image f(x).
• Fonction composée : La composée de f puis g est définie par $(g\circ f)(x)=g(f(x))$.

📝 Points essentiels

📌 Le domaine de définition de g∘f est l’ensemble des x du domaine de f tels que f(x) appartient au domaine de g.

💡 Astuce mémo

On applique d’abord f, puis g : x → f(x) → g(f(x)).

📖 3. Bijections et fonctions réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Bijection : Une application f de I dans J est une bijection s’il existe une application g de J dans I telle que g∘f=Id_I et f∘g=Id_J.
• Bijection réciproque : La bijection réciproque de f, notée f⁻¹, est l’unique application g telle que g∘f=Id_I et f∘g=Id_J.
• Identité : L’identité de I est l’application Id_I : I → I définie par Id_I(x)=x pour tout x de I.

★ À maîtriser

📌 Pour une bijection f, y=f(x) est équivalent à x=f⁻¹(y), et (f⁻¹)⁻¹=f.

Compléments

• Les applications f(x)=2x et g(y)=\frac{1}{2}y sont réciproques sur R, car g∘f=Id_R et f∘g=Id_R.

• L’application f(x)=x² est une bijection de [0,+∞[ vers [0,+∞[, dont la réciproque est f⁻¹(x)=√x.

💡 Astuce mémo

La bijection aller f associe I à J ; la réciproque f⁻¹ revient de J à I.

📖 4. Limites et dérivées des réciproques

★ À maîtriser

📌 Si lim_{x→a}g(x)=b et lim_{x→b}f(x)=c, alors lim_{x→a}f(g(x))=c.

📐 Formule — Si f est réciproque de f⁻¹ et f′(x)≠0, alors $(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(x)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$ lorsque y=f(x).

Compléments

• Comme lim_{x→+∞}1/x=0, on obtient lim_{x→+∞}√(1/x+4)=√4=2.

💡 Astuce mémo

La limite de g puis celle de f entraînent la limite de f∘g.

📖 5. Parité, périodicité et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction paire : Une fonction est paire si son domaine est symétrique par rapport à l’origine et si f(−x)=f(x) pour tout x de son domaine.
• Fonction impaire : Une fonction est impaire si son domaine est symétrique par rapport à l’origine et si f(−x)=−f(x) pour tout x de son domaine.
• Fonction périodique : Une fonction est périodique s’il existe T>0 tel que f(x+T)=f(x) pour tout x de son domaine, et sa période est le plus petit réel T satisfaisant cette propriété.
• Fonction croissante : Une fonction est croissante sur I si a≤b implique f(a)≤f(b), et strictement croissante si a<b implique f(a)<f(b).
• Fonction décroissante : Une fonction est décroissante sur I si a≤b implique f(a)≥f(b), et strictement décroissante si a<b implique f(a)≥f(b).

💡 Astuce mémo

Paire : symétrie par rapport à l’axe des ordonnées ; impaire : symétrie par rapport à l’origine.

📖 6. Bornes et extrema

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction bornée : Une fonction est minorée sur I s’il existe m tel que m≤f(x), majorée s’il existe M tel que f(x)≤M, et bornée si elle est à la fois minorée et majorée.
• Maximum global : f admet un maximum global en a∈I si f(x)≤f(a) pour tout x∈I, et f(a) est alors le maximum global.
• Minimum global : f admet un minimum global en a∈I si f(x)≥f(a) pour tout x∈I, et f(a) est alors le minimum global.
• Extremum local : f admet un maximum local en a s’il existe un intervalle J contenant a tel que f(x)≤f(a) pour tout x∈I∩J, et un minimum local si f(x)≥f(a) sur I∩J.

📝 Points essentiels

• Dans l’exemple du cours, f(−3)=0,8 est un minimum local, f(−2)=1,7 est un maximum local, f(1)=−0,6 est un minimum global et f(3)=3,75 est un maximum global sur [−3,3].

💡 Astuce mémo

Un extremum global concerne tout l’intervalle ; un extremum local concerne seulement un voisinage.

📖 7. Fonctions usuelles et graphes

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction affine est définie sur R par f(x)=ax+b, où a est le coefficient directeur et b l’ordonnée à l’origine.
• Fonction valeur absolue : La fonction valeur absolue est définie sur R par f(x)=|x| et elle est paire car |−x|=|x|.
• Fonction carrée : La fonction carrée est définie sur R par f(x)=x², décroît sur ]−∞,0] et croît sur [0,+∞[ ; son graphe est une parabole d’axe (Oy) et de sommet O.

• Fonction du second degré : Une fonction du second degré s’écrit f(x)=a(x−α)²+β avec a≠0 ; son graphe est une parabole d’axe x=α et de sommet S(α,β), et le signe de a détermine ses variations.
• Fonction racine carrée : La fonction racine carrée est définie sur [0,+∞[ par x↦√x et elle est croissante sur R+ ; pour a∈R, √(a²)=|a| et pour a≥0, (√a)²=a.
• Fonction inverse : La fonction inverse est définie sur R* par f(x)=1/x, décroît sur R*− et R*+, et son graphe est une hyperbole de centre O dont les asymptotes sont les axes de coordonnées.
• Fonction homographique : Une fonction homographique est définie sur R{−d/c} par f(x)=(ax+b)/(cx+d), avec ad−bc≠0 ; son graphe est une hyperbole d’asymptotes x=−d/c et y=a/c.

📊 Tableaux de synthèse

Symétries des fonctions