QCM : Cours 1 calculus 1 — 24 questions

Questions et réponses du QCM

1. Pour établir que ff admet un maximum global en a∈Ia\in I, quelle propriété faut-il vérifier ?

Montrer que f(x)≥f(a)f(x)\ge f(a) pour tout x∈Ix\in I
Montrer que f(x)≤f(a)f(x)\le f(a) pour tout x∈Ix\in I
Montrer que f(a)f(a) est supérieur à la valeur prise en une extrémité de II
Montrer que l’inégalité f(x)≤f(a)f(x)\le f(a) vaut dans un voisinage de aa

Montrer que $$f(x)\le f(a)$$ pour tout $$x\in I$$

Explication

Un maximum global domine toutes les valeurs de la fonction sur l’ensemble II, ce qui impose f(x)≤f(a)f(x)\le f(a) pour chaque x∈Ix\in I. Une comparaison limitée à un voisinage caractérise plutôt un maximum local.

2. Pour une bijection f, quelle écriture est équivalente à y=f(x)y=f(x) ?

x=f(y)x=f(y)
y=f−1(x)y=f^{-1}(x)
x=f−1(y)x=f^{-1}(y)
f−1(x)=f(y)f^{-1}(x)=f(y)

$$x=f^{-1}(y)$$

Explication

La fonction réciproque permet de retrouver l’antécédent à partir de l’image, d’où l’équivalence y=f(x)y=f(x) et x=f−1(y)x=f^{-1}(y). Écrire y=f−1(x)y=f^{-1}(x) échange à tort les rôles de x et de y.

3. Pourquoi une fonction f de domaine D(f) dans B est-elle une application de D(f) dans B ?

Parce que chaque élément de B possède un antécédent dans D(f)
Parce que D(f) et B contiennent exactement les mêmes éléments
Parce que chaque élément de D(f) possède une image dans B
Parce que la fonction associe chaque élément de B à une valeur de D(f)

Parce que chaque élément de D(f) possède une image dans B

Explication

Par définition du domaine de définition, chaque élément de D(f) est associé à une image f(x) appartenant à B. La surjectivité, évoquée par le fait que chaque élément de B aurait un antécédent, n’est pas requise ici.

4. Que représente le domaine de définition d’une fonction f ?

Le plus grand ensemble d’antécédents admissibles pour lesquels f est définie
L’ensemble des couples formés par un antécédent et une image
L’ensemble des valeurs obtenues par f à partir des antécédents admissibles
L’ensemble d’arrivée annoncé dans la notation de la fonction

Le plus grand ensemble d’antécédents admissibles pour lesquels f est définie

Explication

Le domaine de définition regroupe les antécédents pour lesquels la fonction associe effectivement une image. L’ensemble image, qui constitue le distracteur le plus proche, regroupe au contraire les valeurs obtenues par la fonction.

5. Quel ensemble décrit le graphe d’une fonction f ?

L’ensemble des couples (x,y)(x,y) tels que x=f(y)x=f(y)
L’ensemble des antécédents admissibles appartenant au domaine de définition
L’ensemble des couples (x,y)(x,y) de A×BA\times B tels que y=f(x)y=f(x)
L’ensemble des images obtenues dans l’ensemble d’arrivée B

L’ensemble des couples $$(x,y)$$ de $$A\times B$$ tels que $$y=f(x)$$

Explication

Le graphe rassemble les couples formés d’un antécédent et de son image, avec y=f(x). Le domaine de définition ne contient que les antécédents, tandis que l’ensemble image ne contient que les valeurs obtenues.

6. Une valeur x étant donnée, dans quel ordre les fonctions sont-elles appliquées dans (g∘f)(x)(g\circ f)(x) ?

g est appliquée à x, puis f est appliquée au résultat
f est appliquée à x, puis g est appliquée au résultat
g est appliquée à x, puis le résultat est multiplié par f
f et g sont appliquées simultanément à x

f est appliquée à x, puis g est appliquée au résultat

Explication

La notation g∘fg\circ f signifie que l’on calcule d’abord f(x), puis g(f(x)). Le symbole de composition se lit donc de droite à gauche pour l’ordre d’application.

7. Une fonction possède un minimum global en a∈Ia\in I lorsque quelle inégalité est satisfaite pour tout x∈Ix\in I ?

f(a)≥0f(a)\ge 0
f(x)≤f(a)f(x)\le f(a)
f(x)≥f(a)f(x)\ge f(a)
f(x)>f(a)f(x)>f(a) seulement près de aa

$$f(x)\ge f(a)$$

Explication

Le minimum global est une valeur qui ne dépasse aucune autre valeur de la fonction sur tout l’intervalle, d’où f(x)≥f(a)f(x)\ge f(a) pour tout x∈Ix\in I. Une condition limitée au voisinage de aa ne suffirait que pour conclure à un minimum local.

8. Sur un intervalle II, quelle affirmation distingue correctement une fonction strictement croissante d’une fonction croissante ?

Si a<ba<b, alors f(a)>f(b)f(a)>f(b) dans le cas strict
Si a≤ba\le b, alors f(a)=f(b)f(a)=f(b) dans le cas strict
Si a<ba<b, alors f(a)<f(b)f(a)<f(b) dans le cas strict
Si a≤ba\le b, alors f(a)≥f(b)f(a)\ge f(b) dans le cas strict

Si $$a<b$$, alors $$f(a)<f(b)$$ dans le cas strict

Explication

La croissance stricte impose une inégalité stricte lorsque a<ba<b, tandis que la croissance simple autorise aussi l’égalité des images. Les autres relations correspondent à une décroissance ou à une égalité qui n’est pas exigée.

9. Sachant que f(2)=5f(2)=5 et f′(2)=4f'(2)=4, quelle est la valeur de (f−1)′(5)(f^{-1})'(5) lorsque la fonction réciproque est définie ?

44
15\frac{1}{5}
12\frac{1}{2}
14\frac{1}{4}

$$\frac{1}{4}$$

Explication

La dérivée de la réciproque au point y=f(x)y=f(x) vaut l’inverse de f′(x)f'(x), donc ici (f−1)′(5)=1f′(2)=14(f^{-1})'(5)=\frac{1}{f'(2)}=\frac{1}{4}. La valeur 44 est la dérivée de ff, pas celle de sa réciproque.

10. Une fonction vérifie f(x+6)=f(x)f(x+6)=f(x) pour tout xx de son domaine, et aucun réel positif inférieur à 66 ne possède cette propriété ; quelle est sa période ?

La valeur de f(6)f(6)
33
1212
66

$$6$$

Explication

La période est le plus petit réel strictement positif qui reproduit les valeurs de la fonction, donc elle vaut 66. Le fait qu’un multiple comme 1212 convienne ne suffit pas à en faire la période fondamentale.

11. Pour la fonction affine définie par f(x)=−3x+5f(x)=-3x+5, quelles sont respectivement le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine ?

Le coefficient directeur vaut −3-3 et l’ordonnée à l’origine vaut 55.
Le coefficient directeur vaut 33 et l’ordonnée à l’origine vaut 55.
Le coefficient directeur vaut 55 et l’ordonnée à l’origine vaut −3-3.
Le coefficient directeur vaut −3-3 et l’ordonnée à l’origine vaut −5-5.

Le coefficient directeur vaut $$-3$$ et l’ordonnée à l’origine vaut $$5$$.

Explication

Dans une expression de la forme f(x)=ax+bf(x)=ax+b, le nombre aa est le coefficient directeur et b=f(0)b=f(0) est l’ordonnée à l’origine. Ici, l’échange entre −3-3 et 55 confond ces deux rôles.

12. Quel test permet de reconnaître qu’une fonction est impaire sur un domaine symétrique par rapport à l’origine ?

Vérifier que f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) pour tout xx du domaine
Vérifier que f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x) pour un réel T>0T>0
Vérifier que f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x) pour tout xx du domaine
Vérifier que f(a)≤f(b)f(a)\le f(b) dès que a≤ba\le b

Vérifier que $$f(-x)=-f(x)$$ pour tout $$x$$ du domaine

Explication

Une fonction impaire associe à des abscisses opposées des images opposées, ce qui s’écrit f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x) sur un domaine symétrique. L’égalité sans changement de signe caractérise une fonction paire, tandis que les autres relations décrivent la périodicité ou la croissance.

13. Quelle situation caractérise un maximum local de ff en aa ?

Il existe un intervalle JJ contenant aa tel que f(x)≥f(a)f(x)\ge f(a) pour tout x∈I∩Jx\in I\cap J
La fonction prend en aa la plus grande valeur possible sur tout son domaine
On a f(x)≤f(a)f(x)\le f(a) pour tout x∈Ix\in I, sans restriction de voisinage
Il existe un intervalle JJ contenant aa tel que f(x)≤f(a)f(x)\le f(a) pour tout x∈I∩Jx\in I\cap J

Il existe un intervalle $$J$$ contenant $$a$$ tel que $$f(x)\le f(a)$$ pour tout $$x\in I\cap J$$

Explication

Un maximum local compare f(a)f(a) aux valeurs situées dans un voisinage de aa, représenté par l’intervalle I∩JI\cap J. La comparaison sur tout II définit un maximum global, tandis que l’inégalité inversée décrit un minimum local.

14. Laquelle de ces présentations peut définir une fonction ?

Un ensemble de sorties choisi indépendamment des antécédents
Une courbe représentant les couples d’antécédent et d’image
Une liste de valeurs sans règle reliant les entrées aux sorties
Une écriture qui associe plusieurs images à chaque entrée

Une courbe représentant les couples d’antécédent et d’image

Explication

Une fonction peut être représentée par une courbe, comme par une table, un diagramme, une formule ou un algorithme. Une liste sans association entre entrées et sorties ne définit pas nécessairement une fonction.

15. Que désigne la notation f−1f^{-1} lorsqu’une bijection f possède une fonction réciproque ?

La fonction réciproque de f, et non l’inverse multiplicatif de ses valeurs
La fonction qui applique f deux fois et annule ainsi son effet
La fonction obtenue en prenant l’inverse multiplicatif de chaque valeur f(x)
La fonction qui échange les ensembles de départ et d’arrivée sans condition supplémentaire

La fonction réciproque de f, et non l’inverse multiplicatif de ses valeurs

Explication

La notation f−1f^{-1} désigne l’unique application réciproque qui compose avec f pour donner les identités appropriées. Elle ne signifie pas la fonction multiplicative 1/f1/f, qui est une notion différente.

16. Le graphe d’une fonction du second degré a pour sommet S(2,−1)S(2,-1) et pour axe de symétrie la droite x=2x=2. Quelle forme peut prendre son expression ?

f(x)=a(x−2)2+1f(x)=a(x-2)^2+1 avec a≠0a\ne0.
f(x)=a(x−2)2−1f(x)=a(x-2)^2-1 avec a≠0a\ne0.
f(x)=a(x+2)2−1f(x)=a(x+2)^2-1 avec a≠0a\ne0.
f(x)=a(x+1)2+2f(x)=a(x+1)^2+2 avec a≠0a\ne0.

$$f(x)=a(x-2)^2-1$$ avec $$a\ne0$$.

Explication

La forme canonique f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta donne un sommet S(α,β)S(\alpha,\beta) et un axe x=αx=\alpha. Les signes de la deuxième coordonnée ou du terme dans la parenthèse modifient le sommet ou l’axe indiqués.

17. Sur quel ensemble la fonction inverse f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x} est-elle décroissante ?

Sur l’intervalle ]−∞,0]]-\infty,0] et sur [0,+∞[[0,+\infty[.
Sur chacun des intervalles ]−∞,0[]-\infty,0[ et ]0,+∞[]0,+\infty[.
Sur l’intervalle [0,+∞[[0,+\infty[, en incluant la valeur x=0x=0.
Sur l’intervalle ]−∞,+∞[]-\infty,+\infty[ considéré comme un seul intervalle.

Sur chacun des intervalles $$]-\infty,0[$$ et $$]0,+\infty[$$.

Explication

La fonction inverse est définie sur R∗\mathbb{R}^* et décroît séparément sur R∗−\mathbb{R}^{*-} et R∗+\mathbb{R}^{*+}. Elle n’est pas définie en 00, ce qui empêche de considérer tout l’axe réel comme un seul intervalle de variation.

18. Quelle condition doit vérifier un nombre x pour appartenir au domaine de définition de g∘fg\circ f ?

x appartient au domaine de g et g(x) appartient au domaine de f
x appartient aux domaines de f et de g et f(x)=g(x)
x appartient au domaine de f et f(x) appartient au domaine de g
f(x) appartient au domaine de f et g(x) appartient au domaine de g

x appartient au domaine de f et f(x) appartient au domaine de g

Explication

Pour calculer g(f(x))g(f(x)), il faut d’abord que f soit définie en x, puis que la valeur f(x) soit une entrée admissible pour g. La condition f(x)=g(x) n’est pas nécessaire pour composer les fonctions.

19. Que vaut l’application identité Id⁡I\operatorname{Id}_I en un élément x de I ?

Id⁡I(x)=0\operatorname{Id}_I(x)=0
Id⁡I(x)=1\operatorname{Id}_I(x)=1
Id⁡I(x)=x\operatorname{Id}_I(x)=x
Id⁡I(x)=f(x)\operatorname{Id}_I(x)=f(x)

$$\operatorname{Id}_I(x)=x$$

Explication

L’identité de I conserve chaque élément de I et vérifie donc Id⁡I(x)=x\operatorname{Id}_I(x)=x. Elle ne remplace pas systématiquement l’élément par 0 ou 1, et sa valeur ne dépend pas d’une autre fonction f.

20. La fonction ff est-elle paire si son domaine est symétrique par rapport à l’origine et si f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) pour tout xx de ce domaine ?

Oui, car elle change de signe entre xx et −x-x
Non, car une fonction paire doit être strictement croissante
Oui, car elle conserve la même valeur en xx et en −x-x
Non, car la symétrie concerne uniquement les valeurs positives

Oui, car elle conserve la même valeur en $$x$$ et en $$-x$$

Explication

Ces deux conditions caractérisent une fonction paire : son domaine est symétrique et les images de xx et −x-x sont égales. Le changement de signe correspond à la parité impaire, et non à la parité paire.

21. Comment s’exprime l’ensemble image d’une fonction f dont le domaine de définition est D(f) ?

Im⁡(f)={x∈D(f)∣f(x)=x}\operatorname{Im}(f)=\{x\in D(f)\mid f(x)=x\}
Im⁡(f)={f(x)∣x∈D(f)}\operatorname{Im}(f)=\{f(x)\mid x\in D(f)\}
Im⁡(f)={x∣f(x)∈D(f)}\operatorname{Im}(f)=\{x\mid f(x)\in D(f)\}
Im⁡(f)={(x,f(x))∣x∈D(f)}\operatorname{Im}(f)=\{(x,f(x))\mid x\in D(f)\}

$$\operatorname{Im}(f)=\{f(x)\mid x\in D(f)\}$$

Explication

L’ensemble image contient toutes les valeurs f(x) obtenues lorsque x parcourt le domaine de définition. L’ensemble de couples proposé constitue plutôt une description du graphe, pas de l’ensemble image.

22. Quelle condition traduit le fait qu’une fonction soit bornée sur un intervalle II ?

Il existe un réel qui soit inférieur à toutes les valeurs de la fonction
La fonction atteint une valeur maximale et une valeur minimale dans II
Il existe un minorant et un majorant valables pour toutes les valeurs de II
Il existe un réel qui soit supérieur à toutes les valeurs de la fonction

Il existe un minorant et un majorant valables pour toutes les valeurs de $$I$$

Explication

Une fonction bornée possède à la fois un nombre inférieur ou égal à toutes ses valeurs et un nombre supérieur ou égal à toutes ses valeurs. L’existence d’un seul de ces deux nombres décrit seulement une fonction minorée ou majorée, et non nécessairement bornée.

23. Si lim⁡x→ag(x)=b\lim_{x\to a}g(x)=b et lim⁡x→bf(x)=c\lim_{x\to b}f(x)=c, quelle limite peut-on attribuer à la composée f∘gf\circ g lorsque x→ax\to a ?

bb, en reprenant la limite de gg au point aa
g(b)g(b), en échangeant les rôles des deux fonctions
f(a)f(a), en évaluant directement la fonction extérieure
cc, en utilisant la limite de ff au point bb

$$c$$, en utilisant la limite de $$f$$ au point $$b$$

Explication

La limite de la composée est cc, car les valeurs de g(x)g(x) tendent vers bb, puis celles de ff tendent vers cc au voisinage de bb. La valeur bb décrit la limite intermédiaire de gg et non celle de la composée.

24. Quelle propriété permet de conclure que la fonction f(x)=∣x∣f(x)=|x| est paire ?

Pour tout réel xx, on a f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x).
Pour tout réel xx, on a f(x)=xf(x)=x.
Pour tout réel xx, on a f(−x)=f(x)f(-x)=f(x).
Pour tout réel xx, on a f(x+1)=f(x)f(x+1)=f(x).

Pour tout réel $$x$$, on a $$f(-x)=f(x)$$.

Explication

La valeur absolue vérifie ∣−x∣=∣x∣|-x|=|x|, donc les images de xx et de −x-x sont égales, ce qui caractérise une fonction paire. L’égalité f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x) correspondrait à la propriété d’une fonction impaire.

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Fonction — définition ?

Associe chaque x à un y unique.

Graphe — représentation ?

Ensemble de points (x, f(x)).

Application — rôle ?

Relie domaine à codomaine.

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