Fiche de révision : Fonctions et automatismes mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Vocabulaire des fonctions
2. Calculs d’images et d’antécédents
3. Tableaux et courbes représentatives
4. Fonctions linéaires et affines
5. Priorités et calculs sur fractions
6. Pourcentages et nombres relatifs
7. Calcul littéral et distributivité

📖 1. Vocabulaire des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Procédé qui associe à chaque nombre de départ un unique nombre d’arrivée.
• Image : Résultat obtenu lorsqu’on remplace la variable par ce nombre dans l’expression de la fonction.
• Antécédent : Nombre de départ qui permet d’obtenir une image.

📝 Points essentiels

• Dans la notation $f(x)$, $f$ désigne la fonction, $x$ le nombre de départ et $f(x)$ le résultat obtenu.

📖 2. Calculs d’images et d’antécédents

★ À maîtriser

• Pour calculer une image, on remplace la variable de l’expression de la fonction par le nombre donné, puis on effectue le calcul.

• Pour trouver un antécédent d’une image, on résout l’équation obtenue en égalant l’expression de la fonction à cette image.

Compléments

• Pour $f(x)=2x+3$, l’image de 4 est $f(4)=2\times4+3=11$.

• Pour $f(x)=2x+3$, l’antécédent de 11 se trouve en résolvant $2x+3=11$, ce qui donne $x=4$.

💡 Astuce mémo

Image : on connaît x ; antécédent : on connaît l’image.

📖 3. Tableaux et courbes représentatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau de valeurs : Tableau qui présente plusieurs nombres et leurs images par une fonction.
• Courbe représentative : Représentation graphique d’une fonction dans un repère.

★ À maîtriser

• Sur une représentation graphique, l’axe horizontal porte les nombres de départ $x$ et l’axe vertical les images $f(x)$.

• Pour lire une image sur une courbe, on part de sa valeur sur l’axe horizontal et on rejoint la courbe ; pour lire un antécédent, on part de l’image sur l’axe vertical et on rejoint la courbe.

Compléments

• Pour $f(x)=2x+3$, les valeurs $x=0{,}1{,}2{,}3$ ont respectivement pour images $3{,}5{,}7{,}9$.

• Chaque point de la courbe représentative d’une fonction a pour coordonnées $(x;f(x))$.

📖 4. Fonctions linéaires et affines

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction linéaire : Fonction de la forme $f(x)=ax$.
• Fonction affine : Fonction de la forme $f(x)=ax+b$.

★ À maîtriser

• La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite qui passe par l’origine du repère.

Compléments

• La représentation graphique d’une fonction affine est une droite.

• Dans l’expression d’une fonction affine $f(x)=ax+b$, $a$ est le coefficient directeur et $b$ l’ordonnée à l’origine.

💡 Astuce mémo

Linéaire : droite par l’origine ; affine : droite avec ordonnée à l’origine.

📖 5. Priorités et calculs sur fractions

★ À maîtriser

• Pour effectuer un calcul, on traite dans l’ordre les parenthèses, les puissances, les multiplications et divisions de gauche à droite, puis les additions et soustractions de gauche à droite.

📌 Pour additionner ou soustraire deux fractions, elles doivent avoir le même dénominateur.

📐 Formule - Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$.

📌 Pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse.

Compléments

• La division $\frac{2}{3}\div\frac{4}{5}$ se calcule en multipliant par l’inverse : $\frac{2}{3}\times\frac{5}{4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$.

💡 Astuce mémo

Parenthèses → puissances → multiplications/divisions → additions/soustractions.

📖 6. Pourcentages et nombres relatifs

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour calculer un pourcentage d’une quantité, on multiplie la quantité par le pourcentage divisé par 100 : $\text{Quantité}\times\frac{\text{pourcentage}}{100}$.

• Augmenter une quantité de 10 % revient à la multiplier par 1,10, et la diminuer de 10 % revient à la multiplier par 0,90.

• Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, on additionne leurs valeurs et on conserve leur signe.

• Pour additionner deux nombres relatifs de signes différents, on soustrait leurs valeurs absolues et on conserve le signe du nombre ayant la plus grande valeur absolue.

• Lors d’une multiplication ou d’une division, deux nombres de même signe donnent un résultat positif et deux nombres de signes différents donnent un résultat négatif.

Compléments

• 20 % de 150 vaut $150\times\frac{20}{100}=30$.

📖 7. Calcul littéral et distributivité

🔑 Notions clés & Définitions

• Calcul littéral : Utilisation de lettres pour représenter des nombres.

★ À maîtriser

📐 Formule - La distributivité s’écrit $a(b+c)=ab+ac$.

📐 Formule - La factorisation s’écrit $ab+ac=a(b+c)$.

Compléments

• La réduction de $3x+2x$ donne $5x$.

• En appliquant la distributivité, $4(x+3)=4x+12$.

💡 Astuce mémo

Développer : ab + ac ; factoriser : a(b + c).

📊 Tableaux de synthèse

Fonctions linéaires et affines