Fiche de révision : Fonctions et calcul intégral

📋 Plan du Cours

1. Domaines et propriétés des fonctions
2. Réciproques et représentations graphiques
3. Limites et comportements asymptotiques
4. Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
5. Dérivée et variations
6. Opérations et dérivées usuelles
7. Logarithmes et exponentielles
8. Étude complète d’une fonction
9. Fonctions de plusieurs variables
10. Extrema et fonctions composées
11. Différentielles et incertitudes
12. Primitives et intégrales
13. Méthodes d’intégration et aires

📖 1. Domaines et propriétés des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Domaine de définition : Ensemble des valeurs de x pour lesquelles f(x) existe.

★ À maîtriser

📌 Une racine carrée impose que son expression sous le radical soit positive ou nulle, tandis qu’un dénominateur doit être non nul.

Compléments

• Pour $f(x)=\sqrt{4+x}$, le domaine de définition est $[-4,+\infty[.$

💡 Astuce mémo

Domaine autorisé ≠ domaine expérimental

📖 2. Réciproques et représentations graphiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction périodique : Fonction telle que f(x+T)=f(x) pour tout x de son domaine.

★ À maîtriser

📌 Une fonction paire vérifie f(-x)=f(x), tandis qu’une fonction impaire vérifie f(-x)=-f(x).

📌 Une fonction est bornée si elle est à la fois minorée et majorée, ce qui équivaut à l’existence de M tel que |f(x)|≤M.

Compléments

• La fonction sinus est bornée entre -1 et 1, donc elle est minorée par -1 et majorée par 1.

💡 Astuce mémo

La courbe et sa réciproque se reflètent dans le miroir y=x

📖 3. Limites et comportements asymptotiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Asymptote verticale : La droite x=x₀ est une asymptote verticale de la courbe si la limite de f(x) en x₀ vaut +∞ ou -∞.
• Asymptote horizontale : Droite y=L telle que f(x) tend vers L lorsque x tend vers +∞ ou -∞.
• Asymptote oblique : Droite y=mx+p telle que la limite de f(x)-(mx+p) vaut zéro à l’infini.

📝 Points essentiels

• Pour rechercher une asymptote oblique, on vérifie d’abord que f(x) tend vers l’infini, puis on calcule m=lim f(x)/x et enfin p=lim[f(x)-mx].

💡 Astuce mémo

Limite → pente m → décalage p → asymptote

📖 4. Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité : Une fonction est continue en x₀ si sa limite en x₀ est égale à f(x₀).

📝 Points essentiels

📌 La continuité en un point intérieur équivaut à la continuité à gauche et à droite en ce point.

📌 Si une fonction continue sur [a,b] prend des valeurs de signes opposés en a et b, elle s’annule au moins une fois dans [a,b].

💡 Astuce mémo

Continuité + signes opposés → passage par zéro

📖 5. Dérivée et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Limite finie du taux d’accroissement lorsque h tend vers zéro.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le taux d’accroissement de f entre a et a+h est $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ pour h non nul.

📌 Si f est dérivable en a, alors f est continue en a, mais une fonction continue en a n’est pas nécessairement dérivable en a.

Compléments

📐 Formule — La tangente à la courbe en a a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a).$

💡 Astuce mémo

Dérivée positive → croissance ; dérivée négative → décroissance

📖 6. Opérations et dérivées usuelles

★ À maîtriser

📐 Formule — La dérivée d’une somme vérifie $(f+g)'=f'+g'$ et celle d’un produit vérifie $(fg)'=f'g+fg'.$

📐 Formule — Pour g(x)≠0, la dérivée d’un quotient vérifie $\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}.$

📐 Formule — La dérivée d’une composée vérifie $(g\circ f)'(x)=g'(f(x))f'(x).$

Compléments

• Pour n entier naturel, la dérivée de xⁿ est $n x^{n-1}.$

💡 Astuce mémo

Somme, produit, quotient, composée

📖 7. Logarithmes et exponentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien : Défini sur ]0,+∞[ et fonction réciproque de l’exponentielle.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour x>0 et y>0, le logarithme transforme un produit en somme selon $\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y).$

📐 Formule — La dérivée du logarithme népérien est $\left(\ln x\right)'=\frac{1}{x}$ sur ]0,+∞[.

📐 Formule — L’exponentielle vérifie $e^{x+y}=e^x e^y$ et sa dérivée est $(e^x)'=e^x.$

💡 Astuce mémo

ln défait exp ; exp défait ln

📖 8. Étude complète d’une fonction

★ À maîtriser

• L’étude d’une fonction comprend:
  • Le domaine de définition
  • La symétrie
  • La continuité
  • La dérivabilité
  • Les variations
  • La concavité
  • Les limites
  • Les asymptotes
  • Le tableau de variation
  • La courbe

📐 Formule — Dans cet exemple, $f'(x)=1+\frac{1}{(x-1)^2}$ est positive pour tout x≠1, donc f est croissante sur son domaine.

📌 Une fonction deux fois dérivable est convexe lorsque f′′ est positive et concave lorsque f′′ est négative.

Compléments

• Pour $f(x)=\frac{x^2-2x}{x-1}$, le domaine de définition est $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ et la droite x=1 est une asymptote verticale.

💡 Astuce mémo

Domaine → dérivée → variations → concavité → asymptotes

📖 9. Fonctions de plusieurs variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Domaine multidimensionnel : Ensemble des couples ou n-uplets pour lesquels la fonction existe.
• Dérivée partielle : Pour calculer la dérivée partielle par rapport à x, on considère y comme une constante, et inversement pour la dérivée par rapport à y.

★ À maîtriser

• Le domaine de $f(x,y)=\sqrt{4-x^2-y^2}$ est le disque de centre O et de rayon 2, défini par x²+y²≤4.

Compléments

📐 Formule — Pour $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$, on obtient $\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.$

📖 10. Extrema et fonctions composées

🔑 Notions clés & Définitions

• Point critique : Couple où les deux dérivées partielles premières sont nulles.

★ À maîtriser

📌 Pour un point critique, si s²-rt<0, le point est un maximum lorsque r<0 et un minimum lorsque r>0.

📐 Formule — Pour F(t)=f(u(t),v(t)), la dérivée est $F'(t)=\frac{\partial f}{\partial x}u'(t)+\frac{\partial f}{\partial y}v'(t).$

Compléments

📌 Si s²-rt>0 en un point critique, ce point n’est pas un extremum selon le critère présenté.

💡 Astuce mémo

Point critique → Hessienne de Monge → nature de l’extremum

📖 11. Différentielles et incertitudes

🔑 Notions clés & Définitions

• Différentielle : Approximation de la variation d’une fonction à partir des variations de ses variables.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour une fonction d’une variable, la différentielle vérifie $df=f'(x)dx.$

📐 Formule — Pour une fonction de deux variables, la différentielle totale est $df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy.$

📐 Formule — L’incertitude absolue maximale d’une fonction de trois variables est $\Delta f=\left|\frac{\partial f}{\partial x}\right|\Delta x+\left|\frac{\partial f}{\partial y}\right|\Delta y+\left|\frac{\partial f}{\partial z}\right|\Delta z.$

💡 Astuce mémo

Erreur sur les mesures → différentielle → incertitude majorée

📖 12. Primitives et intégrales

🔑 Notions clés & Définitions

• Primitive : Une primitive F d’une fonction continue f vérifie F′(x)=f(x) sur l’intervalle considéré.

★ À maîtriser

📐 Formule — Si F est une primitive de f, alors $\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a).$

📌 Toutes les primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante additive, mais une condition initiale fixe une primitive unique.

Compléments

📐 Formule — La relation de Chasles vérifie $\int_a^b f(x)dx=\int_a^{x_0}f(x)dx+\int_{x_0}^b f(x)dx.$

💡 Astuce mémo

Primitive : dériver ; intégrale : soustraire les valeurs aux bornes

📖 13. Méthodes d’intégration et aires

📝 Points essentiels

📌 L’aire sous une courbe entre a et b est l’intégrale de f, les régions au-dessus de l’axe des abscisses étant positives et celles au-dessous négatives.

📐 Formule — L’aire entre deux courbes f et g sur [a,b] est $A=\int_a^b f(x)dx-\int_a^b g(x)dx$ lorsque f est au-dessus de g.

📐 Formule — L’intégration par parties vérifie $\int_a^b u(x)v'(x)dx=[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)dx.$

• 🔄 Un changement de variable suit plusieurs étapes:
  1. Choisir la nouvelle variable
  2. Calculer la différentielle
  3. Transformer les bornes
  4. Réécrire l’intégrale
  5. Calculer l’intégrale

💡 Astuce mémo

IPP ou changement de variable → intégrale simplifiée → aire

📊 Tableaux de synthèse

Types d’asymptotes