QCM : Fonctions et calcul intégral — 41 questions

Questions et réponses du QCM

1. Que représente le domaine de définition d’une fonction réelle ?

L’ensemble des points où la courbe possède une tangente
L’ensemble des valeurs de x pour lesquelles f(x) existe
L’ensemble des nombres qui annulent l’expression de la fonction
L’ensemble des valeurs de f(x) atteintes par la fonction

L’ensemble des valeurs de x pour lesquelles f(x) existe

Explication

Le domaine de définition rassemble les valeurs de x pour lesquelles le calcul de f(x) est possible. L’ensemble des valeurs prises par f correspond plutôt à l’image de la fonction.

2. Quel est le domaine de définition de la fonction f(x)=√(4+x) ?

[-4,+∞[
]-∞,4]
]-4,+∞[
]-∞,-4]

[-4,+∞[

Explication

Le radicande doit vérifier 4+x≥0, donc x≥−4, ce qui donne l’intervalle [-4,+∞[. L’extrémité −4 est incluse, car la racine carrée de zéro existe.

3. Quelle relation caractérise une fonction paire ?

f(x+T)=f(x)
f(-x)=-f(x)
|f(x)|≤M
f(-x)=f(x)

f(-x)=f(x)

Explication

Une fonction paire conserve sa valeur lorsque x est remplacé par −x, d’où f(−x)=f(x). La relation f(−x)=−f(x) caractérise une fonction impaire.

4. Une fonction vérifie f(x+T)=f(x) pour tout x de son domaine. Quelle propriété cette relation exprime-t-elle ?

La fonction est symétrique par rapport à une droite verticale
La fonction est bornée par une constante positive
La fonction est périodique de période T
La fonction est impaire par rapport à l’origine

La fonction est périodique de période T

Explication

La relation f(x+T)=f(x) signifie que les valeurs se répètent après une translation horizontale de longueur T. Elle ne décrit donc pas une symétrie graphique.

5. Une fonction est majorée mais n’est pas minorée. Que peut-on conclure ?

Elle est nécessairement périodique
Elle vérifie f(-x)=-f(x)
Elle possède une asymptote horizontale
Elle n’est pas nécessairement bornée

Elle n’est pas nécessairement bornée

Explication

Une fonction bornée doit être à la fois minorée et majorée, ou vérifier |f(x)|≤M. Une majoration seule ne garantit donc pas qu’elle soit bornée.

6. Quelle condition définit une asymptote verticale d’équation x=x₀ ?

f(x)−(mx+p) tend vers zéro lorsque x tend vers l’infini
f(x) tend vers une constante L lorsque x tend vers l’infini
f(x) tend vers +∞ ou −∞ lorsque x tend vers x₀
f(x) tend vers zéro lorsque x tend vers x₀

f(x) tend vers +∞ ou −∞ lorsque x tend vers x₀

Explication

La droite x=x₀ est une asymptote verticale lorsque la fonction diverge vers +∞ ou −∞ au voisinage de x₀. Une limite finie à l’infini décrit plutôt une asymptote horizontale.

7. La limite de f(x)−(3x−2) vaut zéro lorsque x tend vers +∞. Quelle droite est une asymptote oblique de la courbe ?

y=3x−2
x=3x−2
y=3
y=−2x+3

y=3x−2

Explication

Par définition, une asymptote oblique a une équation y=mx+p lorsque f(x)−(mx+p) tend vers zéro à l’infini. Ici, m=3 et p=−2.

8. Lors de la recherche d’une asymptote oblique, quelle succession de calculs est appropriée lorsque la pente obtenue est finie ?

Chercher une limite horizontale, calculer p=lim f(x)/x, puis déterminer m
Calculer p, vérifier la divergence de f, puis déterminer m avec lim[f(x)−p]
Vérifier la divergence de f, calculer m=lim f(x)/x, puis p=lim[f(x)−mx]
Résoudre f(x)=0, calculer m avec lim[f(x)−x], puis vérifier p

Vérifier la divergence de f, calculer m=lim f(x)/x, puis p=lim[f(x)−mx]

Explication

La méthode consiste d’abord à vérifier que f(x) tend vers l’infini, puis à calculer la pente m et enfin l’ordonnée à l’origine p. Une fois m fini, p se détermine par la limite de f(x)−mx.

9. Quelle condition caractérise la continuité d’une fonction en un point x₀ ?

La fonction possède une dérivée finie en x₀
La limite en x₀ existe et vaut f(x₀)
La valeur f(x₀) existe, quelle que soit la limite
La limite à gauche existe et vaut la limite à droite

La limite en x₀ existe et vaut f(x₀)

Explication

Une fonction est continue en x₀ lorsque sa limite en ce point existe et coïncide avec sa valeur f(x₀). L’existence de la limite ou de la valeur seule ne suffit pas, et la dérivabilité est une propriété plus exigeante.

10. Pour une fonction continue en un point intérieur x₀, quelle caractérisation est équivalente ?

Les limites à gauche et à droite existent et valent f(x₀)
La limite en x₀ existe sans condition sur f(x₀)
La fonction admet une dérivée nulle en x₀
La fonction prend des valeurs opposées de part et d’autre de x₀

Les limites à gauche et à droite existent et valent f(x₀)

Explication

En un point intérieur, la continuité équivaut à l’existence de limites à gauche et à droite, toutes deux égales à f(x₀). Une dérivée nulle ou des valeurs opposées ne caractérisent pas la continuité.

11. Une fonction continue sur [a,b] vérifie f(a)<0 et f(b)>0. Que peut-on conclure ?

Elle est strictement croissante sur [a,b]
Elle est dérivable en tout point de [a,b]
Elle atteint son maximum en un point intérieur
Elle s’annule au moins une fois dans [a,b]

Elle s’annule au moins une fois dans [a,b]

Explication

Le changement de signe aux extrémités, combiné à la continuité, garantit l’existence d’au moins un nombre c dans [a,b] tel que f(c)=0. Cette conclusion ne fournit ni dérivabilité, ni monotonie, ni position du maximum.

12. Quelle expression représente le taux d’accroissement de f entre a et a+h ?

f(a+h)f(a)\frac{f(a+h)}{f(a)}, avec f(a)≠0
f(a+h)−f(a)h\frac{f(a+h)-f(a)}{h}, avec h≠0
f(a+h)−f(a)a\frac{f(a+h)-f(a)}{a}, avec a≠0
f(a)−f(a+h)h\frac{f(a)-f(a+h)}{h}, avec h=0

\(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\), avec h≠0

Explication

Le taux d’accroissement compare la variation des valeurs de f à la variation h des abscisses, avec h non nul. La dérivée correspond ensuite à la limite de cette expression lorsque h tend vers zéro.

13. Comment définit-on le nombre dérivé f′(a) ?

Comme le taux d’accroissement calculé pour h égal à zéro
Comme la valeur f(a) divisée par l’abscisse a
Comme la pente moyenne entre deux points quelconques de la courbe
Comme la limite finie du taux d’accroissement quand h tend vers zéro

Comme la limite finie du taux d’accroissement quand h tend vers zéro

Explication

Le nombre dérivé f′(a) est la limite finie du taux d’accroissement lorsque h tend vers zéro. Le taux d’accroissement lui-même exige h non nul et décrit une pente moyenne entre deux points.

14. Quelle relation entre continuité et dérivabilité est correcte en un point a ?

Aucune des deux propriétés n’entraîne l’autre
Les deux propriétés sont équivalentes en tout point
La continuité implique la dérivabilité, mais l’inverse peut échouer
La dérivabilité implique la continuité, mais l’inverse peut échouer

La dérivabilité implique la continuité, mais l’inverse peut échouer

Explication

Toute fonction dérivable en a est continue en a, tandis qu’une fonction continue peut présenter un point anguleux et ne pas être dérivable. La continuité est donc une condition moins forte que la dérivabilité.

15. Si f et g sont dérivables, quelle formule donne la dérivée du produit fg ?

(fg)'=f'+g'
(fg)'=f'g'
(fg)'=f'g+fg'
(fg)'=fg'+f'g'

(fg)'=f'g+fg'

Explication

La règle du produit comporte deux termes : la dérivée du premier facteur multipliée par le second, puis le premier facteur multiplié par la dérivée du second. La formule f'+g' concerne la somme et ne convient pas au produit.

16. Pour g(x)≠0, quelle formule donne la dérivée du quotient f/g ?

(fg)′=f′g+fg′g\left(\frac f g\right)'=\frac{f'g+fg'}{g}
(fg)′=f′g−fg′g2\left(\frac f g\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}
(fg)′=f′g′g2\left(\frac f g\right)'=\frac{f'g'}{g^2}
(fg)′=f′g−fg′g\left(\frac f g\right)'=\frac{f'g-fg'}{g}

\(\left(\frac f g\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}\)

Explication

La dérivée d’un quotient possède au dénominateur le carré du dénominateur initial et au numérateur la différence f'g−fg'. La condition g(x)≠0 concerne la définition du quotient, tandis que la formule fait apparaître g(x)².

17. Si F(x)=g(f(x)) et si f et g sont dérivables, quelle expression donne F′(x) ?

F′(x)=g′(f(x))f′(x)
F′(x)=g(f′(x))f(x)
F′(x)=g′(f′(x))f(x)
F′(x)=g′(x)f′(x)

F′(x)=g′(f(x))f′(x)

Explication

La règle de dérivation d’une composée évalue la dérivée de la fonction extérieure en f(x), puis la multiplie par la dérivée de la fonction intérieure. Utiliser g′(x) ignore la composition et son changement d’argument.

18. Sur quel ensemble le logarithme népérien est-il défini, et quelle relation entretient-il avec l’exponentielle ?

Il est défini sur ℝ et égal à l’exponentielle
Il est défini sur ]0,+∞[ et réciproque de l’exponentielle
Il est défini sur ]0,+∞[ et dérivé de l’exponentielle
Il est défini sur ℝ et réciproque de l’exponentielle

Il est défini sur ]0,+∞[ et réciproque de l’exponentielle

Explication

Le logarithme népérien n’est défini que pour les réels strictement positifs et constitue la fonction réciproque de l’exponentielle. La confusion fréquente consiste à lui attribuer le domaine de l’exponentielle, qui est ℝ.

19. Pour x>0 et y>0, quelle propriété vérifie le logarithme népérien d’un produit ?

ln(xy)=ln(x)ln(y)
ln(xy)=ln(x)-ln(y)
ln(xy)=ln(x)+ln(y)
ln(xy)=ln(x)/ln(y)

ln(xy)=ln(x)+ln(y)

Explication

Le logarithme transforme un produit en somme, d’où ln(xy)=ln(x)+ln(y). La différence correspond à la règle du logarithme d’un quotient, et non d’un produit.

20. Quelle est la dérivée de ln(x) sur son domaine de définition ?

x
1/x
e^x
ln(x)

1/x

Explication

Sur ]0,+∞[, la dérivée de ln(x) vaut 1/x. L’expression ln(x) décrit la fonction elle-même, tandis qu'e^x est sa fonction réciproque.

21. Quelle propriété associe correctement l’exponentielle à l’addition et à la dérivation ?

e^(x+y)=e^x+e^y et (e^x)'=x e^(x-1)
e^(x+y)=e^(x)e^y et (e^x)'=x e^x
e^(x+y)=e^x e^y et (e^x)'=e^x
e^(x+y)=e^(x-y) et (e^x)'=1/x

e^(x+y)=e^x e^y et (e^x)'=e^x

Explication

L’exponentielle transforme une somme en produit et sa dérivée est elle-même. La dérivée x e^(x-1) correspond à une puissance de x, pas à l’exponentielle.

22. Quels éléments appartiennent à une étude complète d’une fonction ?

Le domaine, les limites, les variations et la concavité
Les coefficients, les racines et la moyenne des valeurs
Les coordonnées, les vecteurs et les distances du graphe
La primitive, l’intégrale et la transformée de Fourier

Le domaine, les limites, les variations et la concavité

Explication

Une étude complète examine notamment le domaine, les limites, les variations, la concavité, les asymptotes et la représentation graphique. Les autres ensembles regroupent des notions mathématiques qui ne constituent pas les étapes générales de cette étude.

23. Si f'(x)=1+1/(x-1)^2 pour tout x≠1, quelle conclusion peut-on tirer sur f ?

f est décroissante sur chacun des intervalles de son domaine
f est constante sur chacun des intervalles de son domaine
f est croissante sur chacun des intervalles de son domaine
f atteint un maximum en x=1

f est croissante sur chacun des intervalles de son domaine

Explication

Comme 1+1/(x-1)^2 est positive pour tout x différent de 1, la fonction est croissante sur son domaine. Le point x=1 est exclu, mais cette exclusion ne transforme pas la dérivée en valeur négative.

24. Comment déterminer la convexité ou la concavité d’une fonction deux fois dérivable ?

La fonction est convexe lorsque f est croissante et concave lorsqu’elle décroît
La fonction est convexe si f'' est négative et concave si f'' est positive
La fonction est convexe si f' est positive et concave si f' est négative
La fonction est convexe si f'' est positive et concave si f'' est négative

La fonction est convexe si f'' est positive et concave si f'' est négative

Explication

Le signe de la dérivée seconde détermine la courbure : une dérivée seconde positive indique la convexité et une dérivée seconde négative la concavité. Le signe de f' renseigne plutôt sur les variations.

25. Dans quel ensemble se trouve le domaine d’une fonction de deux variables réelles ?

Dans une partie de ℝ²
Dans l’ensemble des valeurs prises par la fonction
Dans une partie de ℝ
Dans une partie de ℝ³

Dans une partie de ℝ²

Explication

Le domaine d’une fonction de deux variables est constitué de couples (x,y), donc il forme une partie de ℝ². Une partie de ℝ correspond au domaine d’une fonction d’une seule variable.

26. Quel est le domaine de f(x,y)=√(4-x²-y²) ?

Le carré défini par |x|≤2 et |y|≤2
L’extérieur du disque x²+y²≥4
Le disque x²+y²≤4
Le cercle x²+y²=4

Le disque x²+y²≤4

Explication

Pour que la racine carrée existe, il faut 4-x²-y²≥0, soit x²+y²≤4 : c’est le disque fermé de centre O et de rayon 2. L’équation x²+y²=4 ne décrit que sa frontière circulaire.

27. Lorsqu’on calcule la dérivée partielle de f(x,y) par rapport à x, quelle variable conserve-t-on constante ?

On fait varier x et y simultanément
On remplace y par une fonction de x
On conserve y constante et on fait varier x
On conserve x constante et on fait varier y

On conserve y constante et on fait varier x

Explication

La dérivée partielle par rapport à x s’obtient en considérant y comme une constante. Pour une dérivée partielle par rapport à y, c’est x qui resterait constant.

28. Comment reconnaît-on un point critique d’une fonction de deux variables ?

Sa fonction prend une valeur maximale dans le domaine
La fonction possède une tangente horizontale sur tout le domaine
Ses deux dérivées partielles secondes sont positives
Ses deux dérivées partielles premières sont nulles

Ses deux dérivées partielles premières sont nulles

Explication

Un point critique est un couple où les deux dérivées partielles premières s’annulent. La positivité des dérivées secondes intervient plutôt dans la classification du point, et non dans sa définition.

29. En un point critique, on calcule s²−rt<0 avec r<0. Quelle conclusion le critère permet-il de tirer ?

Le critère ne permet pas de conclure
Le point est un point selle
Le point est un minimum local
Le point est un maximum local

Le point est un maximum local

Explication

Lorsque s²−rt<0, le critère classe le point comme un maximum si r<0. Le minimum correspond au cas r>0 dans cette même situation.

30. Pour F(t)=f(u(t),v(t)), quelle expression donne correctement F′(t) ?

f_xu′(t)v′(t)
f_xu(t)+f_yv(t)
f_x+f_y+u′(t)+v′(t)
f_xu′(t)+f_yv′(t)

f_xu′(t)+f_yv′(t)

Explication

La dérivée composée additionne les contributions dues aux variations de u et de v, soit f_xu′(t)+f_yv′(t). Le produit des dérivées ou l’utilisation de u(t) et v(t) à la place de leurs dérivées ne respecte pas la règle de chaîne.

31. Que représente la différentielle d’une fonction lorsque ses variables subissent de petites variations ?

La valeur moyenne de la fonction sur un intervalle
Une approximation linéaire de la variation de la fonction
La variation exacte calculée entre deux valeurs
La dérivée seconde évaluée au point considéré

Une approximation linéaire de la variation de la fonction

Explication

La différentielle approxime la variation d’une fonction à partir des variations de ses variables, selon une approximation linéaire. La variation exacte est donnée par une différence de valeurs de la fonction.

32. Pour une fonction y=f(x), quelle relation définit sa différentielle ?

df=f′(x)+dx
df=dx/f′(x)
df=f′(x)dx
df=f(x)dx

df=f′(x)dx

Explication

Pour une fonction d’une variable, la différentielle est le produit de la dérivée par la différentielle de la variable : df=f′(x)dx. Elle fournit une approximation différentielle, contrairement à la variation exacte Δf.

33. Si f dépend de x et de y, quelle est sa différentielle totale ?

df=f_x+f_y+dx+dy
df=(f_x+f_y)(dx+dy)
df=f_xf_ydxdy
df=f_xdx+f_ydy

df=f_xdx+f_ydy

Explication

La différentielle totale additionne les contributions des variations de chaque variable : df=f_xdx+f_ydy. Les produits entre dérivées ou entre différentielle de variables ne correspondent pas à cette formule.

34. Comment calcule-t-on l’incertitude absolue maximale d’une fonction f(x,y,z) ?

En additionnant les incertitudes sans tenir compte des dérivées partielles
En soustrayant les incertitudes selon le signe des dérivées partielles
En additionnant les dérivées partielles en valeur absolue pondérées par les incertitudes
En multipliant les trois dérivées partielles par l’incertitude la plus élevée

En additionnant les dérivées partielles en valeur absolue pondérées par les incertitudes

Explication

L’incertitude absolue maximale est la somme de chaque dérivée partielle prise en valeur absolue, multipliée par l’incertitude de la variable correspondante. Les signes des dérivées ne doivent donc pas provoquer de compensations.

35. Quelle propriété caractérise une primitive F d’une fonction continue f sur un intervalle ?

Elle vérifie F(x)=f′(x) sur l’intervalle
Elle s’annule aux deux extrémités de l’intervalle
Elle vérifie F′(x)=f(x) sur l’intervalle
Elle est nécessairement positive sur l’intervalle

Elle vérifie F′(x)=f(x) sur l’intervalle

Explication

Une primitive F est définie par la relation F′(x)=f(x) sur l’intervalle considéré. Elle n’est pas déterminée par un signe ou par des valeurs nulles aux extrémités.

36. Si F est une primitive de f, quelle formule permet de calculer l’intégrale de a à b ?

F(b)−F(a)
F(a)−F(b)
F(b)/F(a)
F(a)+F(b)

F(b)−F(a)

Explication

Le théorème fondamental donne ∫_a^b f(x)dx=F(b)−F(a). Inverser l’ordre des bornes ou des valeurs changerait le signe du résultat.

37. Pourquoi une condition initiale rend-elle unique une primitive parmi celles d’une même fonction ?

Elle impose une dérivée seconde nulle
Elle transforme l’intégrale en somme de bornes
Elle rend toutes les primitives identiquement nulles
Elle fixe la constante additive

Elle fixe la constante additive

Explication

Deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante additive, et une condition initiale détermine cette constante. Elle sélectionne donc une primitive particulière sans modifier la fonction dérivée.

38. Comment interpréter l’intégrale de f entre a et b lorsqu’une partie de la courbe se trouve sous l’axe des abscisses ?

Les régions sous l’axe contribuent négativement à l’intégrale
Les régions sous l’axe contribuent positivement à l’intégrale
Les régions sous l’axe sont remplacées par leurs valeurs absolues
Les régions sous l’axe sont exclues du calcul de l’intégrale

Les régions sous l’axe contribuent négativement à l’intégrale

Explication

L’intégrale représente une aire algébrique : les portions situées au-dessus de l’axe sont positives, tandis que celles situées en dessous sont négatives. Prendre les valeurs absolues donnerait une aire géométrique totale, mais ce n’est pas l’interprétation directe de l’intégrale définie.

39. Sur un intervalle [a,b], la courbe de f reste au-dessus de celle de g. Quelle expression donne l’aire comprise entre les deux courbes ?

∫ₐᵇ g(x) dx − ∫ₐᵇ f(x) dx
∫ₐᵇ f(x)g(x) dx
∫ₐᵇ [f(x)+g(x)] dx
∫ₐᵇ f(x) dx − ∫ₐᵇ g(x) dx

∫ₐᵇ f(x) dx − ∫ₐᵇ g(x) dx

Explication

L’aire entre les courbes s’obtient en intégrant la différence entre la fonction supérieure et la fonction inférieure. Soustraire l’intégrale de g à celle de f respecte donc l’ordre imposé par leur position sur l’intervalle.

40. Quelle formule applique-t-on pour intégrer le produit u(x)v′(x) entre a et b par intégration par parties ?

[u(x)+v(x)]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u′(x)v′(x) dx
[u(x)v(x)]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u′(x)v(x) dx
[u′(x)v(x)]ₐᵇ + ∫ₐᵇ u(x)v′(x) dx
[u(x)v′(x)]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u(x)v(x) dx

[u(x)v(x)]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u′(x)v(x) dx

Explication

L’intégration par parties remplace l’intégrale du produit par le terme de bord [uv] entre les bornes, diminué de l’intégrale de u′v. Les autres expressions modifient incorrectement les dérivées ou le signe de la relation.

41. Lors d’un changement de variable dans une intégrale définie, quelle suite d’actions est correcte ?

Calculer une primitive, changer les bornes, puis choisir une variable adaptée à la primitive
Choisir une nouvelle variable, calculer sa différentielle, transformer les bornes, puis réécrire l’intégrale
Transformer les bornes, conserver la différentielle initiale, puis intégrer l’expression obtenue
Choisir une nouvelle variable, conserver les bornes, puis remplacer seulement l’expression intégrée

Choisir une nouvelle variable, calculer sa différentielle, transformer les bornes, puis réécrire l’intégrale

Explication

Un changement de variable exige de transformer la différentielle et les bornes avant de réécrire l’intégrale dans la nouvelle variable. Conserver les anciennes bornes après le changement crée une incohérence entre la variable et les limites d’intégration.

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Qu'est-ce que le domaine de définition d'une fonction réelle ?

L'ensemble des valeurs de x pour lesquelles f(x) existe.

Quelle condition impose une racine carrée sur son expression sous le radical ?

Elle doit être positive ou nulle.

Quelle condition impose un dénominateur dans une fonction ?

Il doit être non nul.

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