Fiche de révision : Fonctions et équations du second degré

📋 Plan du Cours

1. Polynôme du second degré
2. Forme canonique et sommet
3. Calcul du discriminant
4. Résolution des équations
5. Applications et factorisation

📖 1. Polynôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction du second degré : Fonction définie par f(x) = ax² + bx + c, où a, b et c sont réels et a ≠ 0.

📝 Points essentiels

📌 La fonction k définie par k(x) = 1/x² n'est pas un polynôme du second degré, car elle contient x au dénominateur et ne peut pas s'écrire ax² + bx + c.

• Le développement de h(x) = (2x + 1)(4x − 3) donne h(x) = 8x² − 2x − 3.

📖 2. Forme canonique et sommet

★ À maîtriser

📐 Formule — Toute fonction f(x) = ax² + bx + c peut s'écrire sous la forme canonique $f(x) = a(x - d)^2 + \beta$ avec $d = -\frac{b}{2a}$ et $\beta = -\frac{b^2 - 4ac}{4a}$.

Compléments

• 🔄 Pour obtenir la forme canonique, on:

  1. factorise a
  2. complète le carré
  3. regroupe le terme constant dans β

• La fonction f(x) = x² − 6x + 5 s'écrit f(x) = (x − 3)² − 4.

💡 Astuce mémo

Une parabole se recentre autour de son axe puis atteint son sommet.

📖 3. Calcul du discriminant

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour l'équation ax² + bx + c = 0, le discriminant est $\Delta = b^2 - 4ac$.

• Si Δ < 0, l'équation ax² + bx + c = 0 n'a aucune solution réelle.

• Si Δ = 0, l'équation ax² + bx + c = 0 admet une solution réelle double x = −b/(2a).

• Si Δ > 0, l'équation ax² + bx + c = 0 admet deux solutions réelles distinctes.

💡 Astuce mémo

Le signe de Δ → le nombre de solutions.

📖 4. Résolution des équations

★ À maîtriser

📐 Formule — Lorsque Δ > 0, les deux solutions sont $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$.

• 🔄 Pour résoudre une équation du second degré, on:
  1. met l'équation sous la forme ax² + bx + c = 0
  2. identifie a, b et c
  3. calcule Δ
  4. applique le cas correspondant au signe de Δ

Compléments

• L'équation 3x² + 5x − 2 = 0 a pour discriminant Δ = 49 et pour solutions x₁ = 1/3 et x₂ = −2.

• La mise sous forme canonique de 2x² + 4x + 3 donne 2(x + 1)² + 1 = 0, ce qui n'a pas de solution réelle.

💡 Astuce mémo

Calculer Δ → compter les solutions → appliquer la formule.

📖 5. Applications et factorisation

★ À maîtriser

• 🔄 Pour factoriser un polynôme connaissant une racine 3, on:
  1. écrit P(x) = (x − 3)(ax² + bx + c)
  2. développe le produit
  3. identifie les coefficients

📌 Si P(3) = 0, alors 3 est une racine de P et x − 3 est un facteur de P.

Compléments

• Pour P(x) = 2x³ − 5x² + x + 2, on obtient P(1) = 0 ; ainsi, 1 est une racine de P.

• Le polynôme P(x) = −x³ + 6x² − 5x − 12 s'annule en x = 3, ce qui permet de rechercher une factorisation par x − 3.

📊 Tableaux de synthèse

Signe du discriminant et solutions