QCM : Fonctions et équations du second degré — 12 questions

Question 1

1. Quelle expression définit une fonction du second degré ?

f(x)=ax^3+bx^2+c

avec

a\ne0

f(x)=ax+b

avec

a\ne0

f(x)=ax^2+bx+c

avec

a\ne0

f(x)=\frac{a}{x^2}+bx+c

avec

a\ne0

Explication

Une fonction du second degré comporte un terme en $x^2$ dont le coefficient $a$ est non nul. L’expression affine $ax+b$ ne contient pas de terme en $x^2$ et relève donc d’un autre type de fonction.

Answer

$$f(x)=ax^2+bx+c$$ avec $$a\ne0$$

Question 2

2. Pourquoi la fonction $k(x)=\frac{1}{x^2}$ n’est-elle pas un polynôme du second degré ?

Parce que

x

apparaît au dénominateur

Parce qu’elle ne contient aucun nombre réel

Parce que son expression comporte un terme constant

Parce que son coefficient de

x^2

vaut

1

Explication

Un polynôme du second degré doit pouvoir s’écrire $ax^2+bx+c$ , sans variable au dénominateur. Dans $\frac{1}{x^2}$ , la présence de $x$ au dénominateur empêche cette écriture.

Answer

Parce que $$x$$ apparaît au dénominateur

Question 3

3. Dans la forme canonique $f(x)=a(x-d)^2+\beta$ , quelle expression donne la valeur de $d$ ?

d=\frac{b}{2a}

d=-\frac{b}{2a}

d=c-\frac{b}{2a}

d=-\frac{b^2-4ac}{4a}

Explication

La forme canonique utilise $d=-\frac{b}{2a}$ , ce qui détermine l’abscisse du sommet. L’expression $-\frac{b^2-4ac}{4a}$ correspond à la valeur de $\beta$ , et non à celle de $d$ .

Answer

$$d=-\frac{b}{2a}$$

Question 4

4. Quelle forme canonique obtient-on pour la fonction $f(x)=x^2-6x+5$ ?

f(x)=(x-3)^2-4

f(x)=(x-6)^2+5

f(x)=(x+3)^2-4

f(x)=(x-3)^2+4

Explication

En complétant le carré, $x^2-6x+5=(x-3)^2-9+5=(x-3)^2-4$ . Le signe devant le terme constant est négatif, car $-9+5=-4$ .

Answer

$$f(x)=(x-3)^2-4$$

Question 5

5. Quelle formule permet de calculer le discriminant de $ax^2+bx+c=0$ ?

\Delta=b^2-4ac

\Delta=-\frac{b}{2a}

\Delta=\frac{b^2-4ac}{4a}

\Delta=b^2+4ac

Explication

Le discriminant d’une équation du second degré est défini par $\Delta=b^2-4ac$ . L’expression $-\frac{b}{2a}$ intervient dans la forme canonique et dans la solution double, mais ne définit pas le discriminant.

Answer

$$\Delta=b^2-4ac$$

Question 6

6. Que peut-on conclure lorsque le discriminant d’une équation du second degré vérifie $\Delta<0$ ?

L’équation admet une solution réelle égale à

-\frac{b}{2a}

L’équation n’a aucune solution réelle

L’équation admet deux solutions réelles distinctes

L’équation admet une solution réelle double

Explication

Un discriminant négatif indique qu’il n’existe aucune solution réelle. Une solution réelle double correspond au cas $\Delta=0$ , tandis que deux solutions réelles distinctes correspondent au cas $\Delta>0$ .

Answer

L’équation n’a aucune solution réelle

Question 7

7. Que devient l’équation $ax^2+bx+c=0$ lorsque $\Delta=0$ ?

Elle admet une solution réelle double

x=\frac{b}{2a}

Elle admet deux solutions réelles distinctes

Elle n’admet aucune solution réelle dans le plan réel

Elle admet une solution réelle double

x=-\frac{b}{2a}

Explication

Lorsque $\Delta=0$ , les deux racines coïncident et la solution double vaut $x=-\frac{b}{2a}$ . Le cas de deux solutions distinctes apparaît lorsque $\Delta>0$ .

Answer

Elle admet une solution réelle double $$x=-\frac{b}{2a}$$

Question 8

8. Combien de solutions réelles distinctes possède une équation du second degré lorsque $\Delta>0$ ?

Deux solutions réelles distinctes

Aucune solution réelle

Une solution réelle double

Une solution réelle et une solution complexe

Explication

Un discriminant strictement positif signifie que l’équation possède deux racines réelles différentes. Le cas $\Delta=0$ produit une racine double, tandis que $\Delta<0$ ne produit aucune racine réelle.

Answer

Deux solutions réelles distinctes

Question 9

9. Pour résoudre une équation du second degré, quelle démarche faut-il suivre ?

La mettre sous forme ax² + bx + c = 0, identifier les coefficients, calculer le discriminant puis appliquer le cas approprié

Mettre l'équation sous forme factorisée, comparer les termes de même degré puis calculer la valeur de la fonction

Développer le membre de gauche, supprimer le terme constant puis appliquer directement la formule des racines

Identifier les racines possibles, calculer leur produit puis vérifier le signe du coefficient dominant

Explication

La résolution commence par la forme générale, suivie de l’identification de a, b et c, du calcul de Δ et de l’étude de son signe. La factorisation peut être utile dans certains cas, mais elle ne constitue pas la démarche générale décrite ici.

Answer

La mettre sous forme ax² + bx + c = 0, identifier les coefficients, calculer le discriminant puis appliquer le cas approprié

Question 10

10. Lorsque le discriminant d’une équation du second degré est positif, quelles sont ses solutions ?

x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{a}

et

x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{a}

x_1 = \frac{b + \sqrt{\Delta}}{2a}

et

x_2 = \frac{b - \sqrt{\Delta}}{2a}

x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}

et

x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}

x_1 = \frac{-b + \Delta}{2a}

et

x_2 = \frac{-b - \Delta}{2a}

Explication

Pour $\Delta > 0$ , les deux solutions s’obtiennent avec $-b$ , la racine carrée de $\Delta$ et le dénominateur $2a$ . Les autres expressions comportent une erreur de signe, remplacent la racine par le discriminant ou omettent le facteur 2.

Answer

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$ et $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$$

Question 11

11. Si un polynôme vérifie $P(3)=0$ , quelle conclusion peut-on en tirer ?

3 est une racine de P et

x-3

est un facteur de P

3 est le degré de P et

x^3

est un facteur de P

P possède une racine égale à 0 et

x

est un facteur de P

3 est un coefficient de P et

x+3

est un facteur de P

Explication

La valeur nulle de $P(3)$ signifie que 3 annule le polynôme, donc 3 est une racine et le facteur associé est $x-3$ . Le facteur $x+3$ correspondrait à une racine égale à -3, et non à 3.

Answer

3 est une racine de P et $$x-3$$ est un facteur de P

Question 12

12. Pour factoriser un polynôme dont on connaît la racine 3, quelle méthode convient ?

Écrire

P(x)=(x+3)(ax^2+bx+c)

, développer puis identifier les coefficients

Écrire

P(x)=(x-3)(ax^2+bx+c)

, développer puis identifier les coefficients

Écrire

P(x)=(x-3)(ax+b)

, réduire puis identifier les coefficients

Écrire

P(x)=3(ax^2+bx+c)

, développer puis comparer les constantes

Explication

Une racine égale à 3 fournit le facteur $x-3$ ; on introduit ensuite un polynôme du degré restant, puis on développe et on identifie les coefficients. Le facteur $x+3$ correspondrait à la racine -3, tandis que les autres formes ne conviennent pas au degré général d’un polynôme cubique.

Answer

Écrire $$P(x)=(x-3)(ax^2+bx+c)$$, développer puis identifier les coefficients

QCM : Fonctions et équations du second degré — 12 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle expression définit une fonction du second degré ?

2. Pourquoi la fonction $k(x)=\frac{1}{x^2}$ n’est-elle pas un polynôme du second degré ?

3. Dans la forme canonique $f(x)=a(x-d)^2+\beta$ , quelle expression donne la valeur de $d$ ?

4. Quelle forme canonique obtient-on pour la fonction $f(x)=x^2-6x+5$ ?

5. Quelle formule permet de calculer le discriminant de $ax^2+bx+c=0$ ?

6. Que peut-on conclure lorsque le discriminant d’une équation du second degré vérifie $\Delta<0$ ?

7. Que devient l’équation $ax^2+bx+c=0$ lorsque $\Delta=0$ ?

8. Combien de solutions réelles distinctes possède une équation du second degré lorsque $\Delta>0$ ?

9. Pour résoudre une équation du second degré, quelle démarche faut-il suivre ?

10. Lorsque le discriminant d’une équation du second degré est positif, quelles sont ses solutions ?

11. Si un polynôme vérifie $P(3)=0$ , quelle conclusion peut-on en tirer ?

12. Pour factoriser un polynôme dont on connaît la racine 3, quelle méthode convient ?

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QCM : Fonctions et équations du second degré — 12 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle expression définit une fonction du second degré ?

2. Pourquoi la fonction k(x)=1x2k(x)=\frac{1}{x^2}k(x)=x21​ n’est-elle pas un polynôme du second degré ?

3. Dans la forme canonique f(x)=a(x−d)2+βf(x)=a(x-d)^2+\betaf(x)=a(x−d)2+β, quelle expression donne la valeur de ddd ?

4. Quelle forme canonique obtient-on pour la fonction f(x)=x2−6x+5f(x)=x^2-6x+5f(x)=x2−6x+5 ?

5. Quelle formule permet de calculer le discriminant de ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 ?

6. Que peut-on conclure lorsque le discriminant d’une équation du second degré vérifie Δ<0\Delta<0Δ<0 ?

7. Que devient l’équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 lorsque Δ=0\Delta=0Δ=0 ?

8. Combien de solutions réelles distinctes possède une équation du second degré lorsque Δ>0\Delta>0Δ>0 ?

9. Pour résoudre une équation du second degré, quelle démarche faut-il suivre ?

10. Lorsque le discriminant d’une équation du second degré est positif, quelles sont ses solutions ?

11. Si un polynôme vérifie P(3)=0P(3)=0P(3)=0, quelle conclusion peut-on en tirer ?

12. Pour factoriser un polynôme dont on connaît la racine 3, quelle méthode convient ?

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2. Pourquoi la fonction $k(x)=\frac{1}{x^2}$ n’est-elle pas un polynôme du second degré ?

3. Dans la forme canonique $f(x)=a(x-d)^2+\beta$ , quelle expression donne la valeur de $d$ ?

4. Quelle forme canonique obtient-on pour la fonction $f(x)=x^2-6x+5$ ?

5. Quelle formule permet de calculer le discriminant de $ax^2+bx+c=0$ ?

6. Que peut-on conclure lorsque le discriminant d’une équation du second degré vérifie $\Delta<0$ ?

7. Que devient l’équation $ax^2+bx+c=0$ lorsque $\Delta=0$ ?

8. Combien de solutions réelles distinctes possède une équation du second degré lorsque $\Delta>0$ ?

11. Si un polynôme vérifie $P(3)=0$ , quelle conclusion peut-on en tirer ?