Fonctions et équations du second degré

📋 Plan du Cours

1. Polynôme du second degré
2. Forme canonique et sommet
3. Calcul du discriminant
4. Résolution des équations
5. Applications et factorisation

📖 1. Polynôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction du second degré : Fonction définie par f(x) = ax² + bx + c, où a, b et c sont réels et a ≠ 0.

📝 Points essentiels

📌 La fonction k définie par k(x) = 1/x² n'est pas un polynôme du second degré, car elle contient x au dénominateur et ne peut pas s'écrire ax² + bx + c.

• Le développement de h(x) = (2x + 1)(4x − 3) donne h(x) = 8x² − 2x − 3.

📖 2. Forme canonique et sommet

★ À maîtriser

📐 Formule — Toute fonction f(x) = ax² + bx + c peut s'écrire sous la forme canonique $f(x) = a(x - d)^2 + \beta$ avec $d = -\frac{b}{2a}$ et $\beta = -\frac{b^2 - 4ac}{4a}$.

Compléments

• 🔄 Pour obtenir la forme canonique, on:

  1. factorise a
  2. complète le carré
  3. regroupe le terme constant dans β

• La fonction f(x) = x² − 6x + 5 s'écrit f(x) = (x − 3)² − 4.

💡 Astuce mémo

Une parabole se recentre autour de son axe puis atteint son sommet.

📖 3. Calcul du discriminant

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour l'équation ax² + bx + c = 0, le discriminant est $\Delta = b^2 - 4ac$.