Fiche de révision : Fonctions et graphiques appliqués

📋 Plan du Cours

1. Définitions et domaines des fonctions
2. Égalité et types de fonctions
3. Exponentielles et applications économiques
4. Logarithmes et propriétés
5. Combinaisons de fonctions
6. Repère et courbes représentatives
7. Droites et fonctions linéaires
8. Paraboles et courbes exponentielles
9. Symétries des graphiques
10. Transformations géométriques

📖 1. Définitions et domaines des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Règle qui affecte à chaque élément x de X au plus un élément de Y.
• Domaine de définition : Ensemble des éléments x pour lesquels f(x) est défini.
• Image d'une fonction : Ensemble des valeurs f(x) obtenues lorsque x appartient à son domaine de définition.

📝 Points essentiels

• Pour f(x)=x^2+x+2, le domaine est ℝ et f(3)=14.

💡 Astuce mémo

Antécédent x → image f(x)

📖 2. Égalité et types de fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynomiale : Fonction qui s'écrit f(x)=c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+⋯+c_1x+c_0, où n est un entier non négatif, c_n≠0, n est le degré et c_n le coefficient principal; son domaine est ℝ.
• Fonction rationnelle : Quotient de deux fonctions polynomiales et elle n'est pas définie lorsque son dénominateur est nul.

★ À maîtriser

📌 Deux fonctions f et g sont égales si et seulement si elles ont le même domaine de définition et vérifient f(x)=g(x) pour tout x de ce domaine.

Compléments

• Une fonction définie par morceaux utilise plusieurs formules distinctes, chacune applicable à une partie précise de son domaine.

📖 3. Exponentielles et applications économiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : Fonction définie par f(x)=b^x, avec b>0, b≠1 et x réel; son domaine est ℝ et son image est l'ensemble des nombres positifs.

★ À maîtriser

📐 Formule — Les règles d'exposants comprennent $b^xb^y=b^{x+y}$, $\frac{b^x}{b^y}=b^{x-y}$, $(b^x)^y=b^{xy}$, $b^{-x}=\frac{1}{b^x}$ et $b^0=1$.

📐 Formule — Le montant d'un intérêt composé est $S=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}$, où P est le principal, r le taux annuel, n le nombre de compositions annuelles et t la durée en années.

Compléments

• Le nombre d'Euler vaut approximativement e≈2,718281828459 et la fonction exponentielle naturelle est f(x)=e^x.

• Avec une croissance annuelle de 2 %, une population initiale de 10 000 habitants atteint environ 10 612 habitants après 3 ans.

💡 Astuce mémo

Taux positif → croissance ; taux négatif → décroissance

📖 4. Logarithmes et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction logarithmique : Fonction réciproque de l'exponentielle de base b, et y=log_b x si et seulement si b^y=x.

★ À maîtriser

📐 Formule — Les relations fondamentales sont $\log_b(b^x)=x$ et $b^{\log_b x}=x$.

📐 Formule — Les propriétés logarithmiques comprennent $\log_b(mn)=\log_b m+\log_b n$, $\log_b\left(\frac{m}{n}\right)=\log_b m-\log_b n$ et $\log_b(m^r)=r\log_b m$.

Compléments

📐 Formule — Le changement de base s'écrit $\log_b m=\frac{\log_a m}{\log_a b}$.

💡 Astuce mémo

Exponentielle : base → résultat ; logarithme : résultat → exposant

📖 5. Combinaisons de fonctions

★ À maîtriser

📐 Formule — Les combinaisons de fonctions vérifient $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$, $(f-g)(x)=f(x)-g(x)$, $(fg)(x)=f(x)g(x)$ et $\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ lorsque g(x)≠0.

Compléments

📐 Formule — La multiplication d'une fonction f par un scalaire c est définie par $(cf)(x)=c\times f(x)$.

📖 6. Repère et courbes représentatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère cartésien : Constitué de deux droites perpendiculaires, l'axe horizontal des abscisses et l'axe vertical des ordonnées, qui se croisent à l'origine.
• Courbe représentative : Constituée de tous les points (x,f(x)) lorsque x appartient au domaine de définition.

📝 Points essentiels

📌 Les intersections avec l'axe des abscisses se trouvent en résolvant f(x)=0, tandis que l'intersection avec l'axe des ordonnées se trouve en calculant f(0).

📖 7. Droites et fonctions linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction linéaire : S'écrit f(x)=mx+b avec m≠0 et sa courbe est une droite ni verticale ni horizontale.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La pente d'une droite passant par deux points distincts est $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$, soit la variation verticale divisée par la variation horizontale.

📐 Formule — Les trois formes d'une droite sont $y-y_1=m(x-x_1)$, $y=mx+b$ et $Ax+By+C=0$.

📌 Deux droites sont parallèles si elles ont la même pente ou si elles sont toutes deux verticales, et elles sont perpendiculaires si leurs pentes vérifient $m_1=-\frac{1}{m_2}$.

💡 Astuce mémo

Pente positive : montée ; pente négative : descente

📖 8. Paraboles et courbes exponentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : Courbe représentative d'une fonction quadratique f(x)=ax^2+bx+c avec a≠0.

★ À maîtriser

📌 Si a>0, la parabole est ouverte vers le haut; si a<0, elle est ouverte vers le bas, et l'abscisse du sommet vaut $-\frac{b}{2a}$.

📌 Pour une fonction exponentielle b^x, la courbe est croissante si b>1 et décroissante si 0<b<1.

Compléments

• L'axe de symétrie d'une parabole est la droite verticale passant par son sommet.

💡 Astuce mémo

a > 0 : parabole vers le haut ; a < 0 : vers le bas

📖 9. Symétries des graphiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Symétrie graphique : Propriété d'être une image en miroir par rapport à un axe ou à un point.

📝 Points essentiels

• Le symétrique de (a,b) est:

  • (-a,b) par rapport à l'axe des ordonnées
  • (a,-b) par rapport à l'axe des abscisses
  • (-a,-b) par rapport à l'origine
  • (b,a) par rapport à y=x

• Pour tester une symétrie par rapport à l'axe des abscisses, on remplace y par -y; pour l'axe des ordonnées, x par -x; pour l'origine, x et y par -x et -y; pour y=x, on échange x et y, puis on vérifie l'équivalence de l'équation.

💡 Astuce mémo

x-axis, y-axis, origine, y = x : −y, −x, −x−y, échange

📖 10. Transformations géométriques

★ À maîtriser

• La courbe de y=f(x)+c, avec c>0, est translatée de c unités vers le haut, tandis que celle de y=f(x)-c est translatée de c unités vers le bas.

• La courbe de y=f(x-c), avec c>0, est décalée de c unités vers la droite, tandis que celle de y=f(x+c) est décalée de c unités vers la gauche.

• La courbe de y=-f(x) est symétrique par rapport à l'axe des abscisses et celle de y=f(-x) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Compléments

📌 La courbe de y=cf(x) est étirée verticalement si c>1 et comprimée verticalement si 0<c<1.

💡 Astuce mémo

Modification extérieure : translation verticale ; modification intérieure : translation horizontale

📊 Tableaux de synthèse

Types de fonctions et propriétés