Fiche de révision : Fonctions et inéquations

📋 Plan du Cours

1. Notions fondamentales sur les fonctions
2. Fonctions de référence
3. Signes des expressions affines
4. Signes des produits
5. Signes des quotients
6. Systèmes linéaires
7. Substitution dans un système

📖 1. Notions fondamentales sur les fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble de définition : constitué de tous les réels x tels que f(x) soit calculable
• Fonction croissante : si, pour tous réels a et b de I, a<b entraîne f(a)≤f(b)
• Fonction décroissante : si, pour tous réels a et b de I, a≤b entraîne f(a)≥f(b)
• Tableau de variations : résume les intervalles sur lesquels une fonction est monotone
• Tableau de signes : réunit les informations concernant le signe d’une fonction et sa position par rapport à l’axe des abscisses

★ À maîtriser

📌 Une fonction paire vérifie f(-x)=f(x), tandis qu’une fonction impaire vérifie f(-x)=-f(x), sur un ensemble de définition symétrique par rapport à 0.

• La courbe d’une fonction paire a l’axe des ordonnées comme axe de symétrie, tandis que la courbe d’une fonction impaire a l’origine du repère comme centre de symétrie.

Compléments

• Pour la fonction $f(x)=\frac{3x-2}{1-x}$, le dénominateur doit être non nul, donc son ensemble de définition est $D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}$.

💡 Astuce mémo

Paire : axe des ordonnées ; impaire : origine du repère.

📖 2. Fonctions de référence

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : fonction de la forme $f(x)=mx+p$ définie sur R
• Fonction carré : définie par f(x)=x² sur R, décroissante sur R⁻=]-∞;0] et croissante sur R⁺=[0;+∞[
• Fonction inverse : définie par f(x)=1/x sur R*, et elle est décroissante sur R*⁻=]-∞;0[ comme sur R*⁺=]0;+∞[
• Fonction cube : définie par f(x)=x³ sur R et elle est strictement croissante sur R
• Fonction racine carrée : définie par f(x)=√x sur R⁺ et elle est strictement croissante sur R⁺

★ À maîtriser

📌 Pour une fonction affine, m>0 implique que la fonction est croissante sur R, tandis que m<0 implique qu’elle est décroissante sur R.

Compléments

📐 Formule — Le coefficient directeur d’une droite passant par A et B est $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$, et p est son ordonnée à l’origine.

📌 La fonction carré est paire, la fonction inverse et la fonction cube sont impaires, tandis que la fonction racine carrée n’est ni paire ni impaire.

💡 Astuce mémo

Carré et racine se limitent par leur domaine ; inverse et cube portent une symétrie centrale.

📖 3. Signes des expressions affines

★ À maîtriser

• Pour déterminer le signe de mx+p avec m≠0, on résout mx+p=0, on place la racine -p/m dans le tableau, puis on utilise le signe de m.

📌 Pour mx+p, si m>0 le signe est négatif puis positif autour de la racine, tandis que si m<0 il est positif puis négatif.

Compléments

• L’expression -2x+6 s’annule en x=3 et l’inéquation -2x+6≥0 a pour solution S=]-∞;3].

💡 Astuce mémo

Racine, placement du zéro, puis signe opposé et signe de m.

📖 4. Signes des produits

★ À maîtriser

• Pour étudier le signe d’un produit, on détermine les zéros de chaque facteur, on construit le tableau de signes et on applique la règle des signes sans développer le produit.

Compléments

• Le produit (2x+3)(4-x) est positif ou nul sur [-3/2;4] et strictement négatif sur ]-∞;-3/2[∪]4;+∞[.

• L’inéquation (x-2)²>0 a pour solution R{2}, car le carré s’annule uniquement en x=2.

💡 Astuce mémo

Zéros des facteurs → tableau de signes → règle des signes.

📖 5. Signes des quotients

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur interdite : la valeur qui annule le dénominateur et doit être exclue de l’ensemble de solutions

★ À maîtriser

• Pour résoudre une inéquation quotient, on détermine les zéros du numérateur et du dénominateur, on place une double barre sous la valeur interdite, puis on lit le signe du quotient.

• Pour résoudre une inéquation quotient dont le second membre n’est pas nul, on ramène d’abord tous les termes dans le membre de gauche, puis on réduit au même dénominateur avant d’étudier le signe.

Compléments

• Pour l’inéquation $\frac{-x-5}{4-2x}\geq0$, les valeurs critiques sont x=-5 et la valeur interdite x=2, et la solution est S=]-∞;-5]∪]2;+∞[.

💡 Astuce mémo

Un zéro annule le quotient ; une valeur interdite annule le dénominateur.

📖 6. Systèmes linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Système linéaire : Un système linéaire de deux équations à deux inconnues x et y s’écrit ax+by=c et a'x+b'y=c', avec (a,b)≠(0,0) et (a',b')≠(0,0).

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le déterminant du système est $\Delta=ab'-a'b$.

📌 Si $ab'-a'b\neq0$, le système possède une unique solution, obtenue par substitution ou par combinaison.

📌 Si $ab'-a'b=0$, le système possède une infinité de solutions lorsque les seconds membres deviennent identiques, et aucune solution lorsqu’ils sont différents.

💡 Astuce mémo

Déterminant non nul : une solution ; déterminant nul : aucune ou une infinité.

📖 7. Substitution dans un système

★ À maîtriser

• 🔄 La méthode de substitution suit trois étapes:
  1. Exprimer une inconnue en fonction de l’autre
  2. Remplacer cette expression dans la seconde équation
  3. Résoudre l’équation à une inconnue

Compléments

📌 La substitution est utilisée de préférence lorsqu’une des inconnues a pour coefficient 1 ou -1.

• Dans le système x+2y=5 et 2x+6y=30, le déterminant vaut 2, donc le système possède une unique solution, puis l’expression de x en fonction de y donne x=5-2y.

• Après substitution dans l’exemple, l’équation à une inconnue est 2(5-2y)+6y=30 et sa résolution donne y=10.

💡 Astuce mémo

Exprimer → substituer → résoudre l’équation à une inconnue.

📊 Tableaux de synthèse

Fonctions de référence