Fiche de révision : Polynômes et probabilités

📋 Plan du Cours

1. Factorisation et signe du polynôme
2. Équations logarithmiques associées
3. Tests de qualité et probabilités conditionnelles
4. Loi binomiale sur les pièces

📖 1. Factorisation et signe du polynôme

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le polynôme étudié est $P(x)=2x^3-5x^2+x+2$.

📐 Formule — La factorisation de P est $P(x)=(x-2)(2x^2-x-1)=(x-2)(2x+1)(x-1)$.

📌 L’inéquation $P(x)\geq 0$ a pour ensemble de solutions $[-\frac{1}{2},1]\cup[2,+\infty[$.

• La valeur du polynôme en 2 est $P(2)=0$.

• Les solutions réelles de l’équation $P(x)=0$ sont $x=-\frac{1}{2}$, $x=1$ et $x=2$.

💡 Astuce mémo

Calculer, factoriser, résoudre, puis étudier le signe

📖 2. Équations logarithmiques associées

★ À maîtriser

📐 Formule — Les solutions de E sont $x=3-e^{-1/2}$, $x=3-e$ et $x=3-e^2$.

📌 Pour que $\ln(3-x)$ soit défini, il faut et il suffit que $x<3$.

• La résolution de l’équation logarithmique E consiste à poser $u=\ln(3-x)$, à résoudre $P(u)=0$, puis à résoudre séparément $\ln(3-x)=-\frac12$, $\ln(3-x)=1$ et $\ln(3-x)=2$.

Compléments

• La résolution de l’inéquation F repose sur le changement de variable $u=\ln(3-x)$, qui transforme l’expression donnée en une inéquation polynomiale en u, avec la condition $x<3$.

💡 Astuce mémo

Poser une variable logarithmique → revenir à la condition 3 − x > 0

📖 3. Tests de qualité et probabilités conditionnelles

★ À maîtriser

📐 Formule — La probabilité qu’une pièce réussisse les deux tests est $P(T_1\cap T_2)=P(T_1)P(T_2\mid T_1)=0{,}95\times0{,}99=0{,}9405$.

📐 Formule — La probabilité qu’une pièce réussisse le test T₂ est $P(T_2)=P(T_1)P(T_2\mid T_1)+P(\overline{T_1})P(T_2\mid\overline{T_1})=0{,}9895$.

• La probabilité qu’une pièce réussisse le test T₁ est $P(T_1)=0{,}95$, tandis que $P(\overline{T_1})=0{,}05$.

• Les probabilités conditionnelles sont $P(T_2\mid T_1)=0{,}99$ et $P(T_2\mid\overline{T_1})=0{,}98$.

📌 Les événements T₁ et T₂ ne sont pas indépendants, car $P(T_2\mid T_1)=0{,}99$ est différent de $P(T_2)=0{,}9895$.

Compléments

📐 Formule — La probabilité qu’une pièce ayant réussi T₂ ait aussi réussi T₁ est $P(T_1\mid T_2)=\frac{P(T_1\cap T_2)}{P(T_2)}\approx0{,}95$.

💡 Astuce mémo

Réussir T₁ n’est pas réussir T₂ : les probabilités conditionnelles diffèrent selon le test précédent

📖 4. Loi binomiale sur les pièces

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire X : égale au nombre de pièces d’un carton de 10 qui ont réussi les deux tests

📝 Points essentiels

📐 Formule — Lorsque chaque pièce réussit les deux tests avec la probabilité $p=0{,}9405$, le nombre X de réussites parmi 10 pièces suit une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0{,}9405$.

📐 Formule — La probabilité qu’exactement 7 pièces aient réussi les deux tests est $P(X=7)=\binom{10}{7}(0{,}9405)^7(1-0{,}9405)^3$.

📊 Tableaux de synthèse

Probabilités des tests