QCM : Polynômes et probabilités — 13 questions

Question 1

1. Quelle est la factorisation complète du polynôme $P(x)=2x^3-5x^2+x+2$ ?

P(x)=(x+2)(2x+1)(x-1)

P(x)=(x-2)(2x-1)(x+1)

P(x)=(x+2)(2x-1)(x-1)

P(x)=(x-2)(2x+1)(x-1)

Explication

La décomposition en facteurs du polynôme est obtenue sous la forme $P(x)=(x-2)(2x^2-x-1)$ , puis le trinôme se factorise en $(2x+1)(x-1)$ . Les autres expressions donnent des coefficients ou des racines différents.

Answer

$$P(x)=(x-2)(2x+1)(x-1)$$

Question 2

2. Quelles sont les solutions réelles de l’équation $P(x)=0$ ?

x=-\frac{1}{2},\ x=1\ \text{et}\ x=2

x=-2,\ x=\frac{1}{2}\ \text{et}\ x=1

x=\frac{1}{2},\ x=1\ \text{et}\ x=-2

x=-\frac{1}{2},\ x=-1\ \text{et}\ x=2

Explication

Les trois racines proviennent des facteurs $2x+1$ , $x-1$ et $x-2$ , ce qui donne les valeurs indiquées. Les autres ensembles remplacent au moins une racine par une valeur qui n’annule pas un facteur de $P$ .

Answer

$$x=-\frac{1}{2},\ x=1\ \text{et}\ x=2$$

Question 3

3. Quel est l’ensemble des solutions de l’inéquation $P(x)\geq 0$ ?

\left]-\infty,-\frac{1}{2}\right[\cup]1,2[

\left]-\infty,-\frac{1}{2}\right]\cup[1,2]

\left[-\frac{1}{2},1\right]\cup[2,+\infty[

\left[-\frac{1}{2},1\right]\cup]2,+\infty[

Explication

Le signe de la forme factorisée conduit à des valeurs positives ou nulles sur $\left[-\frac{1}{2},1\right]$ et sur $[2,+\infty[$ . Les racines sont incluses puisque l’inégalité autorise la valeur zéro.

Answer

$$\left[-\frac{1}{2},1\right]\cup[2,+\infty[$$

Question 4

4. Quelle valeur obtient-on en évaluant le polynôme $P(x)=2x^3-5x^2+x+2$ en $x=2$ ?

P(2)=-2

P(2)=4

P(2)=2

P(2)=0

Explication

En remplaçant $x$ par $2$ dans le polynôme, on obtient $16-20+2+2=0$ . La valeur $2$ est donc une racine de $P$ .

Answer

$$P(2)=0$$

Question 5

5. Quelle condition garantit que $\ln(3-x)$ est défini dans une équation logarithmique ?

x\leq 3

x\geq 3

x>3

x<3

Explication

Le logarithme naturel exige un argument strictement positif, donc $3-x>0$ , ce qui équivaut à $x<3$ . La valeur $x=3$ donnerait un argument nul, qui n’est pas admis pour un logarithme.

Answer

Poser $$u=\ln(3-x)$$, résoudre $$P(u)=0$$, puis traiter les trois valeurs de $$u$$

Answer

$$x=3-e^{-1/2},\ x=3-e\ \text{et}\ x=3-e^2$$

Answer

$$P(T_1)=0,95$$

Answer

$$P(T_1\cap T_2)=0,9405$$

Answer

Parce que $$P(T_2\mid T_1)=0,99$$ est différent de $$P(T_2)=0,9895$$

Answer

Le nombre de pièces ayant réussi les deux tests

Answer

$$n=10$$ est le nombre de pièces et $$p=0,9405$$ est la probabilité de réussite d’une pièce

Answer

$$P(X=7)=\binom{10}{7}(0,9405)^7(1-0,9405)^3$$

Question 6

6. Quelle démarche permet de résoudre l’équation logarithmique E associée à $P$ ?

Poser

u=\ln(3-x)

, résoudre

P(u)=0

, puis traiter les trois valeurs de

u

Résoudre directement

P(x)=0

, puis imposer séparément la condition

x<3

Poser

u=3-x

, résoudre

P(u)=0

, puis prendre le logarithme des racines

Poser

u=\ln(x-3)

, résoudre

P(u)=0

, puis revenir aux valeurs de

x

Explication

Le changement de variable $u=\ln(3-x)$ transforme l’équation en $P(u)=0$ , dont les racines sont ensuite traitées une par une. Résoudre directement $P(x)=0$ confond la variable polynomiale avec l’expression logarithmique.

Question 7

7. Quelles sont les solutions de l’équation logarithmique E ?

x=3+e^{-1/2},\ x=3+e\ \text{et}\ x=3+e^2

x=3-e^{-1/2},\ x=3-e\ \text{et}\ x=3-e^2

x=e^{-1/2}-3,\ x=e-3\ \text{et}\ x=e^2-3

x=3-e^{1/2},\ x=3-e\ \text{et}\ x=3-e^2

Explication

Pour chaque racine $u$ de $P$ , l’égalité $\ln(3-x)=u$ donne $3-x=e^u$ , donc $x=3-e^u$ . Les autres expressions comportent un signe ou un exposant qui ne respecte pas cette transformation.

Question 8

8. Quelle est la probabilité qu’une pièce réussisse le test $T_1$ ?

P(T_1)=0,99

P(T_1)=0,95

P(T_1)=0,05

P(T_1)=0,98

Explication

La réussite du premier test a une probabilité de $0,95$ , tandis que son échec a une probabilité complémentaire de $0,05$ . La valeur $0,05$ correspond donc à $P(\overline{T_1})$ et non à $P(T_1)$ .

Question 9

9. Quelle est la probabilité qu’une pièce réussisse les deux tests, sachant que $P(T_1)=0,95$ et $P(T_2\mid T_1)=0,99$ ?

P(T_1\cap T_2)=0,9500

P(T_1\cap T_2)=0,0495

P(T_1\cap T_2)=0,9405

P(T_1\cap T_2)=0,9895

Explication

La règle du produit donne $P(T_1\cap T_2)=P(T_1)P(T_2\mid T_1)=0,95\times0,99=0,9405$ . La valeur $0,9895$ correspond à la probabilité globale de réussite de $T_2$ , qui inclut les deux situations concernant $T_1$ .

Question 10

10. Pourquoi les événements $T_1$ et $T_2$ ne sont-ils pas indépendants ?

Parce que

P(T_2\mid T_1)=0,99

est différent de

P(T_2)=0,9895

Parce que

P(T_1\cap T_2)=0,9405

est inférieur à

P(T_1)

Parce que

P(T_1)=0,95

est différent de

P(T_2)=0,99

Parce que

P(\overline{T_1})=0,05

est inférieur à

P(T_2\mid\overline{T_1})=0,98

Explication

L’indépendance exigerait que la probabilité de $T_2$ reste la même lorsque $T_1$ est réalisé, c’est-à-dire $P(T_2\mid T_1)=P(T_2)$ . Ces deux valeurs étant différentes, les tests ne sont pas indépendants.

Question 11

11. Que représente la variable aléatoire $X$ dans l’étude d’un carton de 10 pièces soumis à deux tests ?

La probabilité qu’une pièce réussisse les deux tests

Le nombre de tests réussis par une seule pièce

Le nombre de pièces ayant réussi les deux tests

La probabilité que les 10 pièces réussissent les deux tests

Explication

La variable $X$ compte les pièces du carton qui ont réussi les deux tests. La probabilité de réussite d’une pièce est plutôt représentée par $p$ , et non par $X$ .

Question 12

12. Pour modéliser le nombre de pièces réussissant les deux tests, quelle interprétation des paramètres de la loi binomiale $\mathcal{B}(10;0,9405)$ est correcte ?

n=10

est le nombre de pièces réussissant et

p=0,9405

est leur proportion observée

n=10

est le nombre de pièces et

p=0,9405

est la probabilité de réussite d’une pièce

n=10

est le nombre de tests et

p=0,9405

est la probabilité d’échec d’une pièce

n=10

est la probabilité de réussite et

p=0,9405

est le nombre de pièces

Explication

Dans cette loi binomiale, $n$ indique le nombre de pièces étudiées et $p$ la probabilité qu’une pièce réussisse les deux tests. La valeur $p=0,9405$ décrit une réussite, pas un échec ni une proportion observée après l’expérience.

Question 13

13. Quelle expression donne la probabilité qu’exactement 7 pièces sur 10 aient réussi les deux tests lorsque $p=0,9405$ ?

P(X=7)=\binom{7}{10}(0,9405)^7(1-0,9405)^3

P(X\geq 7)=\binom{10}{7}(0,9405)^7(1-0,9405)^3

P(X=7)=\binom{10}{7}(0,9405)^3(1-0,9405)^7

P(X=7)=\binom{10}{7}(0,9405)^7(1-0,9405)^3

Explication

« Exactement 7 » signifie que l’événement recherché est $X=7$ , avec 7 réussites et 3 échecs parmi 10 pièces. L’expression avec $X\geq 7$ inclurait aussi les cas de 8, 9 ou 10 réussites.

QCM : Polynômes et probabilités — 13 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle est la factorisation complète du polynôme $P(x)=2x^3-5x^2+x+2$ ?

2. Quelles sont les solutions réelles de l’équation $P(x)=0$ ?

3. Quel est l’ensemble des solutions de l’inéquation $P(x)\geq 0$ ?

4. Quelle valeur obtient-on en évaluant le polynôme $P(x)=2x^3-5x^2+x+2$ en $x=2$ ?

5. Quelle condition garantit que $\ln(3-x)$ est défini dans une équation logarithmique ?

6. Quelle démarche permet de résoudre l’équation logarithmique E associée à $P$ ?

7. Quelles sont les solutions de l’équation logarithmique E ?

8. Quelle est la probabilité qu’une pièce réussisse le test $T_1$ ?

9. Quelle est la probabilité qu’une pièce réussisse les deux tests, sachant que $P(T_1)=0,95$ et $P(T_2\mid T_1)=0,99$ ?

10. Pourquoi les événements $T_1$ et $T_2$ ne sont-ils pas indépendants ?

11. Que représente la variable aléatoire $X$ dans l’étude d’un carton de 10 pièces soumis à deux tests ?

12. Pour modéliser le nombre de pièces réussissant les deux tests, quelle interprétation des paramètres de la loi binomiale $\mathcal{B}(10;0,9405)$ est correcte ?

13. Quelle expression donne la probabilité qu’exactement 7 pièces sur 10 aient réussi les deux tests lorsque $p=0,9405$ ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Dissolution et dilution en solution

Anthropologie du sport

Cellules souches et environnement

Fonctions et inéquations

Colorimétrie et loi de Beer-Lambert

Signalisation et biologie cellulaire

Crée tes propres QCM

QCM : Polynômes et probabilités — 13 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle est la factorisation complète du polynôme P(x)=2x3−5x2+x+2P(x)=2x^3-5x^2+x+2P(x)=2x3−5x2+x+2 ?

2. Quelles sont les solutions réelles de l’équation P(x)=0P(x)=0P(x)=0 ?

3. Quel est l’ensemble des solutions de l’inéquation P(x)≥0P(x)\geq 0P(x)≥0 ?

4. Quelle valeur obtient-on en évaluant le polynôme P(x)=2x3−5x2+x+2P(x)=2x^3-5x^2+x+2P(x)=2x3−5x2+x+2 en x=2x=2x=2 ?

5. Quelle condition garantit que ln⁡(3−x)\ln(3-x)ln(3−x) est défini dans une équation logarithmique ?

6. Quelle démarche permet de résoudre l’équation logarithmique E associée à PPP ?

7. Quelles sont les solutions de l’équation logarithmique E ?

8. Quelle est la probabilité qu’une pièce réussisse le test T1T_1T1​ ?

9. Quelle est la probabilité qu’une pièce réussisse les deux tests, sachant que P(T1)=0,95P(T_1)=0,95P(T1​)=0,95 et P(T2∣T1)=0,99P(T_2\mid T_1)=0,99P(T2​∣T1​)=0,99 ?

10. Pourquoi les événements T1T_1T1​ et T2T_2T2​ ne sont-ils pas indépendants ?

11. Que représente la variable aléatoire XXX dans l’étude d’un carton de 10 pièces soumis à deux tests ?

12. Pour modéliser le nombre de pièces réussissant les deux tests, quelle interprétation des paramètres de la loi binomiale B(10;0,9405)\mathcal{B}(10;0,9405)B(10;0,9405) est correcte ?

13. Quelle expression donne la probabilité qu’exactement 7 pièces sur 10 aient réussi les deux tests lorsque p=0,9405p=0,9405p=0,9405 ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Dissolution et dilution en solution

Anthropologie du sport

Cellules souches et environnement

Fonctions et inéquations

Colorimétrie et loi de Beer-Lambert

Signalisation et biologie cellulaire

Crée tes propres QCM

1. Quelle est la factorisation complète du polynôme $P(x)=2x^3-5x^2+x+2$ ?

2. Quelles sont les solutions réelles de l’équation $P(x)=0$ ?

3. Quel est l’ensemble des solutions de l’inéquation $P(x)\geq 0$ ?

4. Quelle valeur obtient-on en évaluant le polynôme $P(x)=2x^3-5x^2+x+2$ en $x=2$ ?

5. Quelle condition garantit que $\ln(3-x)$ est défini dans une équation logarithmique ?

6. Quelle démarche permet de résoudre l’équation logarithmique E associée à $P$ ?

8. Quelle est la probabilité qu’une pièce réussisse le test $T_1$ ?

9. Quelle est la probabilité qu’une pièce réussisse les deux tests, sachant que $P(T_1)=0,95$ et $P(T_2\mid T_1)=0,99$ ?

10. Pourquoi les événements $T_1$ et $T_2$ ne sont-ils pas indépendants ?

11. Que représente la variable aléatoire $X$ dans l’étude d’un carton de 10 pièces soumis à deux tests ?

12. Pour modéliser le nombre de pièces réussissant les deux tests, quelle interprétation des paramètres de la loi binomiale $\mathcal{B}(10;0,9405)$ est correcte ?

13. Quelle expression donne la probabilité qu’exactement 7 pièces sur 10 aient réussi les deux tests lorsque $p=0,9405$ ?