Fiche de révision : Fonctions et représentations graphiques

📋 Plan du Cours

1. Représentation des fonctions affines
2. Courbe de la fonction inverse
3. Définition et propriétés de la fonction cube
4. Définition de la fonction racine carrée
5. Résolution graphique d’équations et inéquations

📖 1. Représentation des fonctions affines

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction affine s’écrit $f(x)=ax+b$, et sa représentation graphique est l’ensemble des points de coordonnées $(x;ax+b)$.
• Coefficient directeur : Dans $f(x)=ax+b$, le nombre $a$ est le coefficient directeur de la droite représentative.
• Ordonnée à l’origine : Dans $f(x)=ax+b$, le nombre $b$ est l’ordonnée à l’origine de la droite représentative.

📝 Points essentiels

• La représentation graphique d’une fonction affine est une droite parallèle à celle de la fonction linéaire $x\mapsto ax$ et passant par le point $(0;b)$.

📖 2. Courbe de la fonction inverse

🔑 Notions clés & Définitions

• Hyperbole : Dans un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction inverse est appelée hyperbole.

★ À maîtriser

📌 La fonction inverse n’a pas d’image en 0 et est définie sur $\mathbb{R}^*$.

• L’hyperbole de la fonction inverse admet l’origine comme centre de symétrie et les droites $y=x$ et $y=-x$ comme axes de symétrie.

Compléments

• Pour tout $x\in\mathbb{R}^*$, $x$ et $\frac{1}{x}$ sont de même signe ; l’hyperbole est sous l’axe des abscisses sur $]-\infty;0[$ et au-dessus sur $]0;+\infty[$.

💡 Astuce mémo

L’inverse a deux branches opposées, de part et d’autre des axes de symétrie.

📖 3. Définition et propriétés de la fonction cube

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction cube : La fonction cube est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3$.

★ À maîtriser

• La courbe représentative de la fonction cube admet l’origine du repère comme centre de symétrie.

Compléments

📐 Formule - Pour tout réel $x$, $(-x)^3=-x^3$.

• Pour tout réel $x$, $x$ et $x^3$ sont de même signe ; la courbe du cube est sous l’axe des abscisses sur $]-\infty;0[$ et au-dessus sur $]0;+\infty[$.

• La fonction cube associe $-2$ à $-8$, car $(-2)^3=-8$.

💡 Astuce mémo

Le signe de x est conservé par le cube → la courbe reste dans les quadrants I et III.

📖 4. Définition de la fonction racine carrée

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction racine carrée : La fonction racine carrée est définie sur $\mathbb{R}^+=[0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x}$.

★ À maîtriser

📌 Pour tout réel $x\geq 0$, $\sqrt{x}\geq 0$ ; la courbe de la fonction racine carrée est donc située au-dessus de l’axe des abscisses.

Compléments

📌 L’équation $\sqrt{x}=k$ n’a pas de solution lorsque $k<0$, car toute image de la fonction racine carrée est positive ou nulle.

• L’image de $\frac12$ par la fonction racine carrée est $\frac{\sqrt2}{2}$.

📖 5. Résolution graphique d’équations et inéquations

★ À maîtriser

📌 Les solutions de $x^2=k$ se lisent comme les abscisses des points d’intersection de la courbe de la fonction carré avec la droite horizontale d’ordonnée $k$.

📌 Les solutions de $x^3<k$ sont les abscisses des points de la courbe de la fonction cube situés strictement en dessous de la droite horizontale d’ordonnée $k$.

Compléments

• Pour résoudre graphiquement $x^3<3$, on repère les abscisses des points de la courbe du cube situés sous la droite d’ordonnée 3.