Fiche de révision : Fonctions : généralités et méthodes

📋 Plan du Cours

1. Vocabulaire des fonctions
2. Taux de variation
3. Variations et monotonie
4. Modes de définition
5. Lecture graphique d’une fonction
6. Tableaux de signe et variation
7. Calculs avec une formule
8. Résolution algébrique et balayage
9. Programmation des fonctions

📖 1. Vocabulaire des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Application qui associe à chaque nombre réel x de D un nombre réel et un seul noté f(x).
• Ensemble de définition : Ensemble des valeurs de x auxquelles la fonction associe une image.
• Courbe représentative : Ensemble des points M(x ; y) du plan tels que y = f(x).

📖 2. Taux de variation

★ À maîtriser

📐 Formule — Le taux de variation de f entre deux réels distincts a et b est $T = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

📐 Formule — Si f est croissante sur un intervalle, alors son taux de variation entre deux réels distincts de cet intervalle vérifie $T \geq 0$.

📐 Formule — Si f est décroissante sur un intervalle, alors son taux de variation entre deux réels distincts de cet intervalle vérifie $T \leq 0$.

Compléments

• Le taux de variation mesure l’évolution de la valeur d’une variable sur l’intervalle [a ; b].

💡 Astuce mémo

Taux positif → fonction croissante ; taux négatif → fonction décroissante

📖 3. Variations et monotonie

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction monotone : Fonction qui est soit croissante, soit décroissante sur un intervalle.

★ À maîtriser

📌 Une fonction f est croissante sur I si, pour tous a et b de I tels que a < b, on a f(a) ≤ f(b).

📌 Une fonction f est décroissante sur I si, pour tous a et b de I tels que a < b, on a f(a) ≥ f(b).

Compléments

• La vitesse moyenne d’un mobile entre deux instants t1 et t2 est le taux de variation de la fonction distance : $v(t_1,t_2)=\frac{d(t_2)-d(t_1)}{t_2-t_1}$.

💡 Astuce mémo

Croissante : les images gardent l’ordre ; décroissante : les images inversent l’ordre

📖 4. Modes de définition

★ À maîtriser

📌 Une fonction peut être définie par une courbe, qui permet de lire graphiquement ses valeurs, ou par une formule, qui permet de calculer ses images et ses antécédents.

Compléments

• La fonction f(x) = -5x² + 3 est définie sur R car son expression ne comporte aucune valeur interdite.

📖 5. Lecture graphique d’une fonction

★ À maîtriser

• Pour résoudre graphiquement f(x)=k, on trace la droite horizontale y=k et les abscisses de ses points d’intersection avec la courbe sont les solutions.

• Pour résoudre graphiquement une inéquation, on compare la courbe de f à la droite horizontale correspondant au nombre donné, puis on retient les abscisses où la condition est vérifiée.

Compléments

• Pour la fonction représentée sur l’intervalle [-5 ; 7], l’équation f(x) = -3 a pour solutions -4, 1 et 5.

• Pour cette même fonction, l’équation f(x) = 1 a pour solutions -2 et 6.

💡 Astuce mémo

Une droite horizontale coupe la courbe : ses abscisses donnent les solutions

📖 6. Tableaux de signe et variation

★ À maîtriser

📌 Le tableau de signe indique les intervalles où f(x) est positif, nul ou négatif, tandis que le tableau de variation indique les intervalles où f est croissante ou décroissante.

Compléments

• Sur le graphique étudié, les zéros de f sont -3, -1 et 5,9 ; le signe de f alterne entre les intervalles délimités par ces valeurs.

• Le tableau de variation de la fonction étudiée donne les changements de sens aux abscisses -4,7, -1,9, 3,1 et 6,7.

💡 Astuce mémo

Signe : au-dessus ou au-dessous de l’axe ; variation : montée ou descente de la courbe

📖 7. Calculs avec une formule

🔑 Notions clés & Définitions

• Image : Nombre f(x) obtenu en appliquant la formule de la fonction à x.

★ À maîtriser

• Pour f(x)=3x²−5, l’image de -2 est f(-2)=7, donc -2 est un antécédent de 7.

• Pour rechercher les antécédents d’un nombre par une fonction donnée par formule, on résout l’équation f(x) égale à ce nombre.

Compléments

• Pour f(x)=3x²−5, l’équation f(x)=-5 devient 3x²−5=-5 et admet pour unique solution x=0.

💡 Astuce mémo

Remplacer x → calculer l’image ; égaler f(x) à une valeur → chercher les antécédents

📖 8. Résolution algébrique et balayage

★ À maîtriser

• Pour résoudre 3x²−5>-2, on obtient successivement x²−1>0 puis (x−1)(x+1)>0, ce qui donne S=]−∞;−1[∪]1;+∞[.

• La méthode par balayage encadre une solution d’équation en recherchant un changement de signe, puis affine l’encadrement en diminuant le pas.

Compléments

• Pour l’équation 2x²−2x−3=0, les valeurs f(1)=-3 et f(2)=1 encadrent la solution positive entre 1 et 2, puis f(1,82)=-0,015 et f(1,83)=0,0378 donnent une solution approchée égale à 1,82.

💡 Astuce mémo

Encadrer par changement de signe → réduire le pas → obtenir une approximation

📖 9. Programmation des fonctions

★ À maîtriser

• En Python, une fonction est définie avec def, un paramètre entre parenthèses et l’instruction return qui renvoie l’expression calculée.

Compléments

• Le script def fonc(a): return 3*a**2-5 définit la fonction f(x)=3x²−5 et l’instruction print(fonc(2)) renvoie 7.

• Avec une calculatrice, on peut entrer 3x²−5 dans le menu f(x), puis obtenir un tableau de valeurs ou la courbe représentative.

💡 Astuce mémo

def → paramètre → return → appel de la fonction

📊 Tableaux de synthèse

Signe et variation