Fiche de révision : Modèles physiques et transformée de Laplace

📋 Plan du Cours

1. Modèles électriques et électromécaniques
2. Modèles mécaniques translationnels et rotationnels
3. Modèles hydrauliques et thermiques
4. Définition de la transformée de Laplace
5. Propriétés et transformées usuelles
6. Fonction de transfert des SLCI

📖 1. Modèles électriques et électromécaniques

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour une résistance, la tension vérifie $u(t)=R\,i(t)$.

📐 Formule — Pour une inductance, la tension vérifie $u(t)=L\frac{di(t)}{dt}$.

📐 Formule — Pour un condensateur, la tension vérifie $u(t)=\frac{1}{C}\int i(t)\,dt=\frac{q(t)}{C}$.

📐 Formule — Pour un moteur à courant continu, la force contre-électromotrice vérifie $e(t)=K_E\omega_m(t)$ et le couple moteur vérifie $C_m(t)=K_Ci(t)$.

💡 Astuce mémo

La résistance relie tension et courant, tandis que le moteur relie vitesse et force électromotrice.

📖 2. Modèles mécaniques translationnels et rotationnels

📝 Points essentiels

📐 Formule — En translation, le ressort vérifie $F(t)=Kx(t)$, l'amortisseur fluide vérifie $F(t)=f_vv(t)=f_v\frac{dx(t)}{dt}$ et la masse vérifie $F(t)=Ma(t)=M\frac{d^2x(t)}{dt^2}$.

📐 Formule — En rotation, le ressort de torsion vérifie $C(t)=K_\theta\theta(t)$, l'amortisseur vérifie $C(t)=f_{v\theta}\omega(t)=f_{v\theta}\frac{d\theta(t)}{dt}$ et l'inertie vérifie $C(t)=J\alpha(t)=J\frac{d^2\theta(t)}{dt^2}$.

💡 Astuce mémo

La translation utilise force-déplacement, tandis que la rotation utilise couple-angle.

📖 3. Modèles hydrauliques et thermiques

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le débit volumique vérifie $q_v=S\,v(t)=S\frac{dh(t)}{dt}$.

📐 Formule — La différence de pression hydraulique vérifie $\Delta p(t)=p_2-p_1=R_hq_v(t)$.

📐 Formule — Le flux thermique vérifie $P(t)=C\frac{d\theta(t)}{dt}$ et l'écart de température vérifie $\Delta\theta(t)=\theta_2-\theta_1=R_TP(t)$.

💡 Astuce mémo

Un débit crée une perte de pression, comme un flux thermique crée un écart de température.

📖 4. Définition de la transformée de Laplace

🔑 Notions clés & Définitions

• Transformée de Laplace : La transformée de Laplace d'une fonction causale f(t) est définie par $F(p)=\int_0^{+\infty}e^{-pt}f(t)\,dt$ lorsque f est continue par morceaux pour t≥0 et que $\lim_{t\to+\infty}e^{-t}f(t)$ est finie.
• Fonction de Heaviside : Fonction qui vaut 0 pour t<0 et 1 pour t≥0, afin de rendre la fonction étudiée causale.

📝 Points essentiels

• La variable de Laplace est complexe et s'écrit $p=\sigma+j\omega$, avec $j^2=-1$.

💡 Astuce mémo

Temps t → fonction causale → transformée F(p).

📖 5. Propriétés et transformées usuelles

★ À maîtriser

📐 Formule — La linéarité donne $\mathcal{L}[af_1(t)+bf_2(t)]=aF_1(p)+bF_2(p)$.

📐 Formule — La dérivation donne $\mathcal{L}\left[\frac{df(t)}{dt}\right]=pF(p)-f(0)$ et l'intégration donne $\mathcal{L}\left[\int_0^tf(\tau)d\tau\right]=\frac{F(p)}{p}$.

📌 Le théorème de la valeur initiale donne $f(0)=\lim_{p\to+\infty}pF(p)$ si le degré du numérateur de pF(p) est inférieur ou égal à celui de son dénominateur.

📌 Le théorème de la valeur finale donne $f(+\infty)=\lim_{p\to0}pF(p)$ si les pôles de pF(p) ont des parties réelles négatives.

Compléments

📐 Formule — Un retard temporel vérifie $\mathcal{L}[f(t-\tau)]=e^{-\tau p}F(p)$.

• Les transformées usuelles sont $\mathcal{L}[1]=1/p$, $\mathcal{L}[t]=1/p^2$, $\mathcal{L}[e^{-at}]=1/(p+a)$, $\mathcal{L}[\sin(\omega t)]=\omega/(p^2+\omega^2)$ et $\mathcal{L}[\cos(\omega t)]=p/(p^2+\omega^2)$.

💡 Astuce mémo

Linéarité, dérivation, intégration, retard : LDIR.

📖 6. Fonction de transfert des SLCI

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de transfert : La fonction de transfert d'un SLCI est le rapport $H(p)=\frac{S(p)}{E(p)}=\frac{b_0+b_1p+\cdots+b_mp^m}{a_0+a_1p+\cdots+a_np^n}$ sous conditions initiales nulles.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Sous conditions initiales nulles, la dérivée n-ième vérifie $\mathcal{L}\left[\frac{d^ns(t)}{dt^n}\right]=p^nS(p)-\sum_{i=0}^{n-1}p^is^{(n-1-i)}(0)$.

• L'application de Laplace à l'équation différentielle, suivie de l'annulation des conditions initiales puis de la factorisation, conduit à une équation algébrique reliant S(p) et E(p).

📌 Les racines du numérateur N(p) sont les zéros de la fonction de transfert, tandis que les racines du dénominateur D(p) sont ses pôles.

💡 Astuce mémo

Conditions initiales nulles → équation algébrique → rapport sortie/entrée.

📊 Tableaux de synthèse

Analogies des modèles physiques