QCM : Modèles physiques et transformée de Laplace — 19 questions

Question 1

1. Une résistance électrique de valeur $R$ est traversée par un courant $i(t)$ . Quelle relation décrit la tension à ses bornes ?

u(t)=K_E\omega_m(t)

u(t)=L\frac{di(t)}{dt}

u(t)=\frac{1}{C}\int i(t)\,dt

u(t)=R i(t)

Explication

La résistance relie directement la tension au courant par la loi $u(t)=R i(t)$ . La relation faisant intervenir la dérivée du courant caractérise une inductance, et non une résistance.

Answer

$$u(t)=R i(t)$$

Question 2

2. Dans quel cas la tension dépend-elle de la dérivée temporelle du courant ?

Dans un moteur, selon

C_m(t)=K_C i(t)

Aux bornes d’une résistance, selon

u(t)=R i(t)

Aux bornes d’un condensateur, selon

u(t)=\frac{q(t)}{C}

Aux bornes d’une inductance, selon

u(t)=L\frac{di(t)}{dt}

Explication

Une inductance produit une tension proportionnelle à la variation temporelle du courant, soit $u(t)=L\frac{di(t)}{dt}$ . Une résistance dépend directement de la valeur instantanée du courant, sans dérivée.

Answer

Aux bornes d’une inductance, selon $$u(t)=L\frac{di(t)}{dt}$$

Question 3

3. Pour un condensateur, quelle expression relie la tension à la charge électrique accumulée ?

u(t)=R i(t)

u(t)=\frac{q(t)}{C}

u(t)=L\frac{di(t)}{dt}

u(t)=K_E\omega_m(t)

Explication

La tension d’un condensateur est liée à sa charge par $u(t)=\frac{q(t)}{C}$ , ce qui est équivalent à sa forme intégrale en fonction du courant. La relation $u(t)=R i(t)$ concerne une résistance.

Answer

$$u(t)=\frac{q(t)}{C}$$

Question 4

4. Un moteur à courant continu tourne à la vitesse angulaire $\omega_m(t)$ et reçoit le courant $i(t)$ . Quelles relations décrivent sa force contre-électromotrice et son couple moteur ?

e(t)=K_E\omega_m(t)

et

C_m(t)=K_Ci(t)

e(t)=\frac{q(t)}{C}

et

C_m(t)=K_E\omega_m(t)

e(t)=R i(t)

et

C_m(t)=L\frac{di(t)}{dt}

e(t)=K_Ci(t)

et

C_m(t)=K_E\omega_m(t)

Explication

La force contre-électromotrice est proportionnelle à la vitesse angulaire, tandis que le couple moteur est proportionnel au courant. Les constantes associent donc $K_E$ à $\omega_m(t)$ et $K_C$ à $i(t)$ .

Answer

$$e(t)=K_E\omega_m(t)$$ et $$C_m(t)=K_Ci(t)$$

Question 5

5. Pour un système en translation, quelle grandeur détermine directement la force exercée par le ressort ?

La position angulaire, selon

C(t)=K_\theta\theta(t)

La vitesse, selon

F(t)=f_v\frac{dx(t)}{dt}

L’accélération, selon

F(t)=M\frac{d^2x(t)}{dt^2}

Le déplacement, selon

F(t)=Kx(t)

Explication

La force du ressort translationnel est proportionnelle au déplacement $x(t)$ , selon $F(t)=Kx(t)$ . La vitesse caractérise l’amortisseur fluide, tandis que l’accélération caractérise la masse.

Answer

Le déplacement, selon $$F(t)=Kx(t)$$

Question 6

6. Dans un système mécanique en rotation, quelle relation modélise l’inertie en fonction de l’accélération angulaire ?

C(t)=f_{v\theta}\omega(t)=f_{v\theta}\frac{d\theta(t)}{dt}

C(t)=K_\theta\theta(t)

F(t)=M\frac{d^2x(t)}{dt^2}

C(t)=J\alpha(t)=J\frac{d^2\theta(t)}{dt^2}

Explication

L’inertie de rotation relie le couple à l’accélération angulaire par $C(t)=J\alpha(t)$ . Le ressort de torsion dépend de l’angle, alors que l’amortisseur dépend de la vitesse angulaire.

Answer

$$C(t)=J\alpha(t)=J\frac{d^2\theta(t)}{dt^2}$$

Question 7

7. Un fluide circule dans une section de surface $S$ avec une vitesse moyenne $v(t)$ . Comment exprimer le débit volumique ?

q_v=S v(t)=S\frac{dh(t)}{dt}

q_v=S\frac{d^2h(t)}{dt^2}

q_v=R_h\Delta p(t)

q_v=C\frac{d\theta(t)}{dt}

Explication

Le débit volumique est le produit de la section par la vitesse, soit $q_v=S v(t)=S\frac{dh(t)}{dt}$ . Une différence de pression intervient dans la loi de résistance hydraulique, tandis que la dérivée de température décrit un flux thermique.

Answer

$$q_v=S v(t)=S\frac{dh(t)}{dt}$$

Question 8

8. Dans un circuit hydraulique, quelle loi relie la différence de pression au débit volumique ?

\Delta p(t)=R_TP(t)

\Delta p(t)=C\frac{d\theta(t)}{dt}

\Delta p(t)=p_2-p_1=R_hq_v(t)

\Delta p(t)=S v(t)

Explication

La résistance hydraulique relie la différence de pression au débit par $\Delta p(t)=R_hq_v(t)$ . La relation $\Delta\theta(t)=R_TP(t)$ appartient au modèle thermique et associe une résistance à un flux thermique.

Answer

$$\Delta p(t)=p_2-p_1=R_hq_v(t)$$

Question 9

9. Quelle relation caractérise la capacité thermique d’un système soumis à un flux thermique $P(t)$ ?

P(t)=C\frac{d\theta(t)}{dt}

P(t)=S v(t)

P(t)=K_E\omega_m(t)

P(t)=R_hq_v(t)

Explication

La capacité thermique relie le flux thermique à la variation de température par $P(t)=C\frac{d\theta(t)}{dt}$ . La relation $R_hq_v(t)$ concerne une différence de pression hydraulique, et non l’évolution thermique.

Answer

$$P(t)=C\frac{d\theta(t)}{dt}$$

Question 10

10. Quelle expression définit la transformée de Laplace d’une fonction causale $f(t)$ , lorsque les conditions d’existence sont satisfaites ?

F(p)=e^{-pt}f(t)

F(p)=\int_{-\infty}^{0}e^{-pt}f(t)\,dt

F(p)=\int_0^{+\infty}e^{-pt}f(t)\,dt

F(p)=\int_0^{+\infty}e^{pt}f(t)\,dt

Explication

La transformée de Laplace associe à une fonction temporelle une représentation $F(p)$ obtenue par intégration de $e^{-pt}f(t)$ sur les temps positifs. L’expression intégrée sur les temps négatifs ne correspond pas à la définition causale, tandis que le signe opposé dans l’exponentielle est incorrect.

Answer

$$F(p)=\int_0^{+\infty}e^{-pt}f(t)\,dt$$

Question 11

11. Quelle est la valeur de la fonction de Heaviside $u(t)$ pour $t<0$ et pour $t\geq 0$ ?

Elle vaut

1

pour

t<0

et

0

pour

t\geq 0

.

Elle vaut

0

pour

t<0

et

1

pour

t\geq 0

.

Elle vaut

0

pour

t<0

et

t

pour

t\geq 0

.

Elle vaut

t

pour

t<0

et

1

pour

t\geq 0

.

Explication

La fonction de Heaviside est nulle avant l’instant zéro et prend la valeur un à partir de cet instant, ce qui permet de représenter une fonction causale. La première proposition inverse les deux intervalles, tandis que les autres remplacent une valeur constante par une dépendance en $t$ .

Answer

Elle vaut $$0$$ pour $$t<0$$ et $$1$$ pour $$t\geq 0$$.

Question 12

12. Si $\mathcal{L}[f_1(t)]=F_1(p)$ et $\mathcal{L}[f_2(t)]=F_2(p)$ , quelle est la transformée de $3f_1(t)-2f_2(t)$ ?

6F_1(p)+F_2(p)

3F_1(p)+2F_2(p)

3F_1(p)-2F_2(p)

F_1(p)-F_2(p)

Explication

La linéarité permet de conserver les coefficients et de transformer séparément chaque terme, d’où $3F_1(p)-2F_2(p)$ . La proposition avec deux signes positifs néglige le signe négatif du second terme.

Answer

$$3F_1(p)-2F_2(p)$$

Question 13

13. Pour une fonction $f(t)$ telle que $\mathcal{L}[f(t)]=F(p)$ , quelle relation correspond à la transformée de sa dérivée ?

\mathcal{L}\left[\frac{df(t)}{dt}\right]=\frac{F(p)}{p}

\mathcal{L}\left[\frac{df(t)}{dt}\right]=pF(p)-f(0)

\mathcal{L}\left[\frac{df(t)}{dt}\right]=F(p)-pf(0)

\mathcal{L}\left[\frac{df(t)}{dt}\right]=pF(p)+f(0)

Explication

La dérivation multiplie la transformée par $p$ et fait apparaître la condition initiale soustraite, ce qui donne $pF(p)-f(0)$ . Le facteur $1/p$ correspond à l’intégration, et le signe de la condition initiale n’est pas positif.

Answer

$$\mathcal{L}\left[\frac{df(t)}{dt}\right]=pF(p)-f(0)$$

Question 14

14. Quelle limite permet de déterminer la valeur initiale $f(0)$ à partir de $F(p)$ , lorsque la condition sur les degrés est respectée ?

f(0)=\lim_{p\to 0}pF(p)

f(0)=\lim_{p\to +\infty}F(p)

f(0)=\lim_{p\to 0}F(p)

f(0)=\lim_{p\to +\infty}pF(p)

Explication

Le théorème de la valeur initiale utilise la limite de $pF(p)$ lorsque $p$ tend vers l’infini, sous la condition indiquée sur les degrés. La limite en zéro de $pF(p)$ concerne la valeur finale, et la limite de $F(p)$ seule ne convient pas.

Answer

$$f(0)=\lim_{p\to +\infty}pF(p)$$

Question 15

15. Sous quelle condition sur les pôles de $pF(p)$ peut-on appliquer le théorème de la valeur finale $f(+\infty)=\lim_{p\to0}pF(p)$ ?

Les pôles de

pF(p)

ont des parties réelles négatives.

Les pôles de

pF(p)

sont tous situés dans le domaine temporel.

Les pôles de

pF(p)

sont tous nuls ou imaginaires purs.

Les pôles de

pF(p)

ont des parties réelles positives.

Explication

Le théorème de la valeur finale est valable lorsque les pôles de $pF(p)$ possèdent des parties réelles négatives. Des pôles à parties réelles positives indiquent une instabilité, tandis que les autres conditions ne correspondent pas au critère fourni.

Answer

Les pôles de $$pF(p)$$ ont des parties réelles négatives.

Question 16

16. Sous conditions initiales nulles, quelle forme prend la transformée de Laplace de la dérivée n-ième de $s(t)$ ?

\mathcal{L}\left[\frac{d^ns(t)}{dt^n}\right]=\frac{S(p)}{p^n}

\mathcal{L}\left[\frac{d^ns(t)}{dt^n}\right]=pS(p)-s(0)

\mathcal{L}\left[\frac{d^ns(t)}{dt^n}\right]=p^nS(p)

\mathcal{L}\left[\frac{d^ns(t)}{dt^n}\right]=p^nS(p)+s(0)

Explication

Lorsque toutes les conditions initiales sont nulles, les termes supplémentaires du développement général disparaissent et il reste $p^nS(p)$ . La forme avec $pS(p)-s(0)$ ne concerne que la dérivée première et conserve une condition initiale.

Answer

$$\mathcal{L}\left[\frac{d^ns(t)}{dt^n}\right]=p^nS(p)$$

Question 17

17. Quelle succession d’opérations permet de transformer l’équation différentielle d’un SLCI en une relation algébrique entre $S(p)$ et $E(p)$ ?

Remplacer directement

t

par

p

, supprimer les sorties, puis intégrer.

Appliquer la transformée de Laplace, annuler les conditions initiales, puis factoriser.

Intégrer l’équation, conserver les conditions initiales, puis développer les dérivées.

Factoriser l’équation temporelle, dériver les entrées, puis revenir au domaine temporel.

Explication

La méthode consiste à appliquer la transformée de Laplace, à utiliser les conditions initiales nulles, puis à factoriser afin d’obtenir une équation algébrique reliant les transformées. L’équation différentielle reste dans le domaine temporel, donc un simple remplacement de $t$ par $p$ n’est pas une transformation valide.

Answer

Appliquer la transformée de Laplace, annuler les conditions initiales, puis factoriser.

Question 18

18. Sous conditions initiales nulles, comment définit-on la fonction de transfert d’un SLCI reliant l’entrée $E(p)$ à la sortie $S(p)$ ?

H(p)=\frac{S(p)}{E(p)}

H(p)=S(p)-E(p)

H(p)=\frac{E(p)}{S(p)}

H(p)=S(p)E(p)

Explication

La fonction de transfert est le rapport de la sortie transformée sur l’entrée transformée, soit $H(p)=S(p)/E(p)$ lorsque les conditions initiales sont nulles. Le rapport inverse décrit une relation différente et une soustraction ou un produit ne définit pas ce rapport entrée-sortie.

Answer

$$H(p)=\frac{S(p)}{E(p)}$$

Question 19

19. Dans une fonction de transfert $H(p)=N(p)/D(p)$ , quelle distinction caractérise les zéros et les pôles ?

Les zéros sont les termes constants et les pôles les termes de plus haut degré.

Les zéros sont les racines de

D(p)

et les pôles celles de

N(p)

.

Les zéros sont les coefficients de

N(p)

et les pôles ceux de

D(p)

.

Les zéros sont les racines de

N(p)

et les pôles celles de

D(p)

.

Explication

Les zéros correspondent aux valeurs de $p$ qui annulent le numérateur $N(p)$ , tandis que les pôles annulent le dénominateur $D(p)$ . La proposition inversant numérateur et dénominateur constitue la confusion classique entre ces deux notions.

Answer

Les zéros sont les racines de $$N(p)$$ et les pôles celles de $$D(p)$$.

QCM : Modèles physiques et transformée de Laplace — 19 questions

Questions et réponses du QCM

1. Une résistance électrique de valeur $R$ est traversée par un courant $i(t)$ . Quelle relation décrit la tension à ses bornes ?

2. Dans quel cas la tension dépend-elle de la dérivée temporelle du courant ?

3. Pour un condensateur, quelle expression relie la tension à la charge électrique accumulée ?

4. Un moteur à courant continu tourne à la vitesse angulaire $\omega_m(t)$ et reçoit le courant $i(t)$ . Quelles relations décrivent sa force contre-électromotrice et son couple moteur ?

5. Pour un système en translation, quelle grandeur détermine directement la force exercée par le ressort ?

6. Dans un système mécanique en rotation, quelle relation modélise l’inertie en fonction de l’accélération angulaire ?

7. Un fluide circule dans une section de surface $S$ avec une vitesse moyenne $v(t)$ . Comment exprimer le débit volumique ?

8. Dans un circuit hydraulique, quelle loi relie la différence de pression au débit volumique ?

9. Quelle relation caractérise la capacité thermique d’un système soumis à un flux thermique $P(t)$ ?

10. Quelle expression définit la transformée de Laplace d’une fonction causale $f(t)$ , lorsque les conditions d’existence sont satisfaites ?

11. Quelle est la valeur de la fonction de Heaviside $u(t)$ pour $t<0$ et pour $t\geq 0$ ?

12. Si $\mathcal{L}[f_1(t)]=F_1(p)$ et $\mathcal{L}[f_2(t)]=F_2(p)$ , quelle est la transformée de $3f_1(t)-2f_2(t)$ ?

13. Pour une fonction $f(t)$ telle que $\mathcal{L}[f(t)]=F(p)$ , quelle relation correspond à la transformée de sa dérivée ?

14. Quelle limite permet de déterminer la valeur initiale $f(0)$ à partir de $F(p)$ , lorsque la condition sur les degrés est respectée ?

15. Sous quelle condition sur les pôles de $pF(p)$ peut-on appliquer le théorème de la valeur finale $f(+\infty)=\lim_{p\to0}pF(p)$ ?

16. Sous conditions initiales nulles, quelle forme prend la transformée de Laplace de la dérivée n-ième de $s(t)$ ?

17. Quelle succession d’opérations permet de transformer l’équation différentielle d’un SLCI en une relation algébrique entre $S(p)$ et $E(p)$ ?

18. Sous conditions initiales nulles, comment définit-on la fonction de transfert d’un SLCI reliant l’entrée $E(p)$ à la sortie $S(p)$ ?

19. Dans une fonction de transfert $H(p)=N(p)/D(p)$ , quelle distinction caractérise les zéros et les pôles ?

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Questions et réponses du QCM

1. Une résistance électrique de valeur RRR est traversée par un courant i(t)i(t)i(t). Quelle relation décrit la tension à ses bornes ?

2. Dans quel cas la tension dépend-elle de la dérivée temporelle du courant ?

3. Pour un condensateur, quelle expression relie la tension à la charge électrique accumulée ?

4. Un moteur à courant continu tourne à la vitesse angulaire ωm(t)\omega_m(t)ωm​(t) et reçoit le courant i(t)i(t)i(t). Quelles relations décrivent sa force contre-électromotrice et son couple moteur ?

5. Pour un système en translation, quelle grandeur détermine directement la force exercée par le ressort ?

6. Dans un système mécanique en rotation, quelle relation modélise l’inertie en fonction de l’accélération angulaire ?

7. Un fluide circule dans une section de surface SSS avec une vitesse moyenne v(t)v(t)v(t). Comment exprimer le débit volumique ?

8. Dans un circuit hydraulique, quelle loi relie la différence de pression au débit volumique ?

9. Quelle relation caractérise la capacité thermique d’un système soumis à un flux thermique P(t)P(t)P(t) ?

10. Quelle expression définit la transformée de Laplace d’une fonction causale f(t)f(t)f(t), lorsque les conditions d’existence sont satisfaites ?

11. Quelle est la valeur de la fonction de Heaviside u(t)u(t)u(t) pour t<0t<0t<0 et pour t≥0t\geq 0t≥0 ?

12. Si L[f1(t)]=F1(p)\mathcal{L}[f_1(t)]=F_1(p)L[f1​(t)]=F1​(p) et L[f2(t)]=F2(p)\mathcal{L}[f_2(t)]=F_2(p)L[f2​(t)]=F2​(p), quelle est la transformée de 3f1(t)−2f2(t)3f_1(t)-2f_2(t)3f1​(t)−2f2​(t) ?

13. Pour une fonction f(t)f(t)f(t) telle que L[f(t)]=F(p)\mathcal{L}[f(t)]=F(p)L[f(t)]=F(p), quelle relation correspond à la transformée de sa dérivée ?

14. Quelle limite permet de déterminer la valeur initiale f(0)f(0)f(0) à partir de F(p)F(p)F(p), lorsque la condition sur les degrés est respectée ?

15. Sous quelle condition sur les pôles de pF(p)pF(p)pF(p) peut-on appliquer le théorème de la valeur finale f(+∞)=lim⁡p→0pF(p)f(+\infty)=\lim_{p\to0}pF(p)f(+∞)=limp→0​pF(p) ?

16. Sous conditions initiales nulles, quelle forme prend la transformée de Laplace de la dérivée n-ième de s(t)s(t)s(t) ?

17. Quelle succession d’opérations permet de transformer l’équation différentielle d’un SLCI en une relation algébrique entre S(p)S(p)S(p) et E(p)E(p)E(p) ?

18. Sous conditions initiales nulles, comment définit-on la fonction de transfert d’un SLCI reliant l’entrée E(p)E(p)E(p) à la sortie S(p)S(p)S(p) ?

19. Dans une fonction de transfert H(p)=N(p)/D(p)H(p)=N(p)/D(p)H(p)=N(p)/D(p), quelle distinction caractérise les zéros et les pôles ?

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1. Une résistance électrique de valeur $R$ est traversée par un courant $i(t)$ . Quelle relation décrit la tension à ses bornes ?

4. Un moteur à courant continu tourne à la vitesse angulaire $\omega_m(t)$ et reçoit le courant $i(t)$ . Quelles relations décrivent sa force contre-électromotrice et son couple moteur ?

7. Un fluide circule dans une section de surface $S$ avec une vitesse moyenne $v(t)$ . Comment exprimer le débit volumique ?

9. Quelle relation caractérise la capacité thermique d’un système soumis à un flux thermique $P(t)$ ?

10. Quelle expression définit la transformée de Laplace d’une fonction causale $f(t)$ , lorsque les conditions d’existence sont satisfaites ?

11. Quelle est la valeur de la fonction de Heaviside $u(t)$ pour $t<0$ et pour $t\geq 0$ ?

12. Si $\mathcal{L}[f_1(t)]=F_1(p)$ et $\mathcal{L}[f_2(t)]=F_2(p)$ , quelle est la transformée de $3f_1(t)-2f_2(t)$ ?

13. Pour une fonction $f(t)$ telle que $\mathcal{L}[f(t)]=F(p)$ , quelle relation correspond à la transformée de sa dérivée ?

14. Quelle limite permet de déterminer la valeur initiale $f(0)$ à partir de $F(p)$ , lorsque la condition sur les degrés est respectée ?

15. Sous quelle condition sur les pôles de $pF(p)$ peut-on appliquer le théorème de la valeur finale $f(+\infty)=\lim_{p\to0}pF(p)$ ?

16. Sous conditions initiales nulles, quelle forme prend la transformée de Laplace de la dérivée n-ième de $s(t)$ ?

17. Quelle succession d’opérations permet de transformer l’équation différentielle d’un SLCI en une relation algébrique entre $S(p)$ et $E(p)$ ?

18. Sous conditions initiales nulles, comment définit-on la fonction de transfert d’un SLCI reliant l’entrée $E(p)$ à la sortie $S(p)$ ?

19. Dans une fonction de transfert $H(p)=N(p)/D(p)$ , quelle distinction caractérise les zéros et les pôles ?