Fiche de révision : Fonctions limites et asymptotes

📋 Plan du Cours

1. Domaine et ensemble d’arrivée
2. Image d’un intervalle
3. Limites et continuité
4. Asymptotes d’une fonction

📖 1. Domaine et ensemble d’arrivée

🔑 Notions clés & Définitions

• Domaine de définition : Ensemble des nombres réels pour lesquels la fonction est définie.
• Image d’une fonction : Ensemble des valeurs f(x) obtenues lorsque x appartient à I.

📝 Points essentiels

• La relation entre une fonction et sa représentation graphique s’écrit y = f(x).

💡 Astuce mémo

Le domaine concerne les x autorisés, l’ensemble d’arrivée les valeurs y possibles.

📖 2. Image d’un intervalle

🔑 Notions clés & Définitions

• Image d’un intervalle : Ensemble f(I) des valeurs prises par f lorsque la variable appartient à I.

★ À maîtriser

📌 Pour déterminer l’image d’un intervalle, on étudie les valeurs de la fonction sur cet intervalle, notamment à l’aide du graphique ou du tableau de variation.

Compléments

• Un tableau de variation peut représenter une fonction dont les valeurs évoluent de 2 vers une valeur intermédiaire notée U, puis vers +∞ lorsque x va de −∞ vers +∞.

💡 Astuce mémo

Intervalle de départ → valeurs de la fonction → intervalle image.

📖 3. Limites et continuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite : Comportement de f(x) lorsque x se rapproche de a.
• Continuité : Comportement au voisinage d’un point qui ne correspond pas à une continuité en ce point.

★ À maîtriser

• Une limite peut être étudiée lorsque x tend vers un nombre réel a ou lorsque x tend vers +∞ ou −∞.

Compléments

• La notation f(a) désigne l’image du nombre a par la fonction f.

💡 Astuce mémo

La limite décrit le comportement près d’un point ou à l’infini → elle renseigne sur la continuité et les branches.

📖 4. Asymptotes d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Asymptote verticale : Si $\lim_{x\to a} f(x)=\infty$ ou $\lim_{x\to a} f(x)=-\infty$, alors la droite d’équation $x=a$ est une asymptote verticale à la courbe de f.
• Asymptote horizontale : Si $\lim_{x\to +\infty} f(x)=b$ ou $\lim_{x\to -\infty} f(x)=b$, alors la droite d’équation $y=b$ est une asymptote horizontale à la courbe de f.
• Asymptote oblique : Droite d’équation $y=ax+b$ lorsque $\lim_{x\to \infty}\left(f(x)-(ax+b)\right)=0$.

📝 Points essentiels

📌 Pour rechercher une asymptote oblique, on peut déterminer a par $\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}=a$ puis b par $\lim_{x\to \infty}(f(x)-ax)=b$.

💡 Astuce mémo

Limite infinie près de a → asymptote verticale x = a ; limite finie à l’infini → asymptote horizontale y = b.

📊 Tableaux de synthèse

Types d’asymptotes