Fiche de révision : Fonctions numériques et étude de courbes

📋 Plan du Cours

1. Limites et interprétation graphique
2. Asymptotes et équivalents
3. Méthodes de calcul des limites
4. Continuité des fonctions
5. Théorèmes d’existence et d’unicité
6. Dérivabilité et nombre dérivé
7. Règles de dérivation
8. Tangentes et points remarquables
9. Symétries et transformations
10. Variations et étude complète
11. Approximation affine
12. Applications aux courbes

📖 1. Limites et interprétation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Asymptote verticale : La droite d’équation $x=a$ est une asymptote verticale à la courbe de f lorsque $\lim_{x\to a}f(x)=+\infty$ ou $-\infty$.
• Asymptote horizontale : La droite d’équation $y=a$ est une asymptote horizontale à la courbe de f lorsque $\lim_{x\to+\infty}f(x)=a$ ou $\lim_{x\to-\infty}f(x)=a$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Une fonction f tend vers une limite finie ℓ en a lorsque $\lim_{x\to a}f(x)=\ell$.

💡 Astuce mémo

Limite finie : droite horizontale ; limite infinie : droite verticale

📖 2. Asymptotes et équivalents

🔑 Notions clés & Définitions

• Asymptote oblique : La droite d’équation $y=ax+b$ est une asymptote oblique à la courbe de f lorsque $\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-(ax+b)]=0$.

★ À maîtriser

📌 Si $f(x)=ax+b+h(x)$ et si $\lim_{x\to\pm\infty}h(x)=0$, alors la droite $y=ax+b$ est une asymptote oblique à la courbe de f.

Compléments

📐 Formule — Deux courbes représentatives de f et g sont asymptotes lorsque $\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-g(x)]=0$.

💡 Astuce mémo

Différence nulle à l’infini → courbe et droite deviennent asymptotiques

📖 3. Méthodes de calcul des limites

★ À maîtriser

• Pour une forme indéterminée, on peut factoriser, multiplier par l’expression conjuguée, reconnaître un nombre dérivé, utiliser la règle de dérivation d’un quotient ou appliquer un encadrement.

📌 Si une fonction f est encadrée par g et h et si $\lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}h(x)=\ell$, alors $\lim_{x\to a}f(x)=\ell$.

Compléments

📌 La règle de l’Hôpital s’applique à une forme indéterminée $\frac{0}{0}$ en dérivant le numérateur et le dénominateur, lorsque les conditions d’application sont réunies.

💡 Astuce mémo

Factoriser, conjuguer, dériver, encadrer

📖 4. Continuité des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité : Une fonction f est continue en a lorsque $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.

★ À maîtriser

📌 La somme, le produit, le quotient lorsque le dénominateur ne s’annule pas et la composée de fonctions continues sont continus sur leurs domaines de définition.

Compléments

• Les fonctions polynomiales, les fonctions rationnelles sur leur domaine, les fonctions sinus et cosinus sont continues sur leurs domaines respectifs.

📖 5. Théorèmes d’existence et d’unicité

★ À maîtriser

📌 Si f est continue sur [a,b] et si k est compris entre f(a) et f(b), alors l’équation $f(x)=k$ admet au moins une solution dans [a,b].

📌 Si f est continue et strictement monotone sur [a,b] et si k est compris entre f(a) et f(b), alors l’équation $f(x)=k$ admet une solution unique dans [a,b].

Compléments

• Pour obtenir un encadrement plus précis d’une solution unique, on évalue f au milieu de l’intervalle puis on conserve la moitié où le changement de signe est maintenu.

💡 Astuce mémo

Continuité → encadrement → existence ; monotonie → unicité

📖 6. Dérivabilité et nombre dérivé

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : La fonction f est dérivable en a si la limite $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\ell$ existe et est finie ; cette limite est le nombre dérivé f′(a).

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le nombre dérivé peut aussi s’écrire $f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.

📐 Formule — La tangente à la courbe de f au point A(a,f(a)) a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

💡 Astuce mémo

Dérivée à gauche = dérivée à droite : tangente ; sinon : point anguleux

📖 7. Règles de dérivation

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour deux fonctions dérivables u et v, on a $(u+v)'=u'+v'$ et $(uv)'=u'v+uv'.$

📐 Formule — Pour deux fonctions dérivables u et v avec v non nulle, on a $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$.

📐 Formule — Pour une composée u∘v, on a $(u\circ v)'(x)=u'(v(x))v'(x).$

Compléments

📐 Formule — Les dérivées usuelles comprennent $(x^n)'=nx^{n-1}$, $(\sin x)'=\cos x$ et $(\cos x)'=-\sin x.$

📖 8. Tangentes et points remarquables

🔑 Notions clés & Définitions

• Point d’inflexion : A(a,f(a)) est un point d’inflexion lorsque la courbe change de convexité au voisinage de a ; cela peut notamment être associé à un changement de signe de f′′(x).

★ À maîtriser

📌 Si les dérivées à gauche et à droite en a sont égales, la courbe admet une tangente en a ; si elles sont différentes, elle présente un point anguleux et deux demi-tangentes.

📌 Si $f'(a)=0$, la tangente à la courbe en A(a,f(a)) est horizontale et a pour équation $y=f(a)$.

Compléments

📌 Si le taux d’accroissement tend vers l’infini en a, la courbe admet une tangente verticale d’équation $x=a$.

💡 Astuce mémo

Dérivée nulle : tangente horizontale ; dérivée infinie : tangente verticale

📖 9. Symétries et transformations

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction paire : Une fonction f est paire lorsque $f(-x)=f(x)$ pour tout x de son domaine symétrique par rapport à zéro ; sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
• Fonction impaire : Une fonction f est impaire lorsque $f(-x)=-f(x)$ pour tout x de son domaine symétrique par rapport à zéro ; sa courbe est symétrique par rapport à l’origine.
• Fonction périodique : Une fonction f est périodique de période p lorsque $f(x+p)=f(x)$ pour tout x de son domaine.

📝 Points essentiels

• Les transformations usuelles permettent d’obtenir la courbe de |f| en réfléchissant au-dessus de l’axe des abscisses les parties de la courbe de f situées en dessous.

💡 Astuce mémo

PFP : paire, fonctionnelle périodique

📖 10. Variations et étude complète

📝 Points essentiels

• L’étude des variations d’une fonction consiste à déterminer son domaine, calculer ses limites aux bornes, calculer sa dérivée, étudier le signe de cette dérivée et en déduire les variations.

📌 Sur un intervalle, si $f'(x)>0$, alors f est strictement croissante, et si $f'(x)<0$, alors f est strictement décroissante.

• Pour déterminer la position de la courbe de f par rapport à une droite y=g(x), on étudie le signe de la différence $f(x)-g(x)$.

💡 Astuce mémo

Domaine, limites, dérivée, signe, variations

📖 11. Approximation affine

★ À maîtriser

📐 Formule — L’approximation affine de f au voisinage de x₀ est $f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$

Compléments

• Pour un petit réel h, on peut approcher $f(x_0+h)$ par $f(x_0)+hf'(x_0).$

📖 12. Applications aux courbes

★ À maîtriser

📌 Les intersections de la courbe avec l’axe des abscisses sont obtenues en résolvant $f(x)=0$, tandis que son intersection avec l’axe des ordonnées est le point de coordonnées $(0,f(0))$ lorsque 0 appartient au domaine.

📌 Pour discuter graphiquement le nombre de solutions de $f(x)=m$, on compte les intersections de la courbe de f avec la droite horizontale $y=m$.

Compléments

📌 Pour discuter graphiquement le nombre de solutions de $f(x)=ax+b$, on compte les points d’intersection de la courbe de f avec la droite d’équation $y=ax+b$.

📊 Tableaux de synthèse

Types d’asymptotes