Fiche de révision : Éléments remarquables de R

📋 Plan du Cours

1. Majorants et minorants
2. Plus grands et plus petits éléments
3. Propriétés de la partie entière
4. Bornes supérieure et inférieure
5. Caractérisation des bornes
6. Applications dans R

📖 1. Majorants et minorants

🔑 Notions clés & Définitions

• Majorant : Tout élément de A est inférieur ou égal à M.
• Minorant : Tout élément de A est supérieur ou égal à m.

★ À maîtriser

📌 Une partie de R est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Compléments

• L'ensemble des majorants de F est [1,+∞[ et l'ensemble des minorants de J est ]-∞,0].

💡 Astuce mémo

Majorant au-dessus, minorant au-dessous

📖 2. Plus grands et plus petits éléments

🔑 Notions clés & Définitions

• Plus grand élément : Un réel y est le plus grand élément de A si y appartient à A et si tout élément de A est inférieur ou égal à y ; on le note max A.
• Plus petit élément : Un réel y est le plus petit élément de A si y appartient à A et si tout élément de A est supérieur ou égal à y ; on le note min A.

📝 Points essentiels

📌 Une partie peut avoir un plus petit élément sans avoir de plus grand élément, comme l'ensemble E=[0,+∞[ qui a pour minimum 0.

💡 Astuce mémo

Maximum dans A, supremum pas forcément dans A

📖 3. Propriétés de la partie entière

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie entière : Plus grand entier relatif inférieur ou égal à x.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout réel x, la partie entière vérifie $L(x)\le x<L(x)+1$.

📐 Formule — Pour tout réel x et tout entier relatif p, $L(x+p)=L(x)+p$.

Compléments

• Pour démontrer que la fonction partie entière est croissante, on utilise x≤y, puis L(x)≤x≤y et enfin la définition de L(y) comme plus grand entier inférieur ou égal à y.

💡 Astuce mémo

Encadrement, croissance, translation entière

📖 4. Bornes supérieure et inférieure

🔑 Notions clés & Définitions

• Borne supérieure : Plus petit élément de l'ensemble des majorants de A ; on le note sup A.
• Borne inférieure : Plus grand élément de l'ensemble des minorants de A ; on le note inf A.

📝 Points essentiels

📌 Si une partie non vide de R est majorée, elle possède une borne supérieure ; si elle est minorée, elle possède une borne inférieure.

📌 Si A possède un plus grand élément, alors max A=sup A, mais une borne supérieure peut exister sans maximum.

💡 Astuce mémo

Supremum = plus petit majorant ; infimum = plus grand minorant

📖 5. Caractérisation des bornes

★ À maîtriser

📌 Un réel α est la borne supérieure d'une partie non vide A de R si α est un majorant de A et si, pour tout ε>0, il existe x∈A tel que α-ε<x≤α.

📌 Un réel ρ est la borne inférieure d'une partie non vide A de R si ρ est un minorant de A et si, pour tout ε>0, il existe x∈A tel que ρ≤x<ρ+ε.

Compléments

📌 Une borne supérieure d'une partie non vide A est aussi caractérisée par l'existence d'une suite d'éléments de A qui converge vers cette borne.

💡 Astuce mémo

Approximation arbitraire → borne extrême

📖 6. Applications dans R

★ À maîtriser

• Si A et B sont non vides et si tout élément de A est inférieur ou égal à tout élément de B, alors sup A≤inf B.

📐 Formule — Pour tous a,b∈R_+, on a $|\sqrt a-\sqrt b|\le\sqrt{|a-b|}$.

Compléments

• Pour A=[0,1[, on a sup A=1, et la suite u_n=1-1/n converge vers 1 avec ses termes dans A pour les indices appropriés.

📌 La propriété de la borne supérieure est vraie dans R mais pas dans Q, car l'ensemble A={x∈Q:x²≤2} est non vide et majoré sans posséder de supremum rationnel.

💡 Astuce mémo

Complétude de R → existence des bornes

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des éléments extrêmes

Comparaison des bornes