Éléments remarquables de R

Extrait de la fiche de révision

Plan du Cours

  1. Majorants et minorants
  2. Plus grands et plus petits éléments
  3. Propriétés de la partie entière
  4. Bornes supérieure et inférieure
  5. Caractérisation des bornes
  6. Applications dans R

1. Majorants et minorants

Notions clés & Définitions

  • Majorant : Tout élément de A est inférieur ou égal à M.
  • Minorant : Tout élément de A est supérieur ou égal à m.

★ À maîtriser

📌 Une partie de R est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Compléments

  • L'ensemble des majorants de F est [1,+∞[ et l'ensemble des minorants de J est ]-∞,0].

Astuce mémo

Majorant au-dessus, minorant au-dessous

2. Plus grands et plus petits éléments

Notions clés & Définitions

  • Plus grand élément : Un réel y est le plus grand élément de A si y appartient à A et si tout élément de A est inférieur ou égal à y ; on le note max A.
  • Plus petit élément : Un réel y est le plus petit élément de A si y appartient à A et si tout élément de A est supérieur ou égal à y ; on le note min A.

Points essentiels

📌 Une partie peut avoir un plus petit élément sans avoir de plus grand élément, comme l'ensemble E=[0,+∞[ qui a pour minimum 0.

Astuce mémo

Maximum dans A, supremum pas forcément dans A

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Aperçu du QCM

1. À propos des minorants d’une partie réelle :

2. Les relations entre maximum et borne supérieure peuvent-elles être caractérisées ainsi ?

3. Concernant les formules et la croissance de la partie entière :

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Aperçu des flashcards

Qu'est-ce qu'un majorant d'un ensemble A ?

Un réel M tel que tout élément de A soit inférieur ou égal à M.

Qu'est-ce qu'un minorant d'un ensemble A ?

Un réel m tel que tout élément de A soit supérieur ou égal à m.

Quand une partie de R est-elle bornée ?

Lorsqu'elle est à la fois majorée et minorée.

Quels sont les majorants de l'ensemble F ? Pour F=]0;20]

L'ensemble [20 ; +[+\infty[

Quels sont les minorants de l'ensemble J ? [0; 20[

L'ensemble ]-∞,0].

Qu'est-ce qu'un plus grand élément d'un ensemble A ?

Un réel y dans A tel que tout élément de A est inférieur ou égal à y.

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Questions fréquentes

Que contient la fiche de révision sur Éléments remarquables de R ?

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