QCM : Éléments remarquables de R — 14 questions

Explication

Tout élément de A est supérieur ou égal à un minorant, ce qui signifie que ce minorant peut être inférieur aux éléments de A. Un minorant n’est pas obligé d’appartenir à A, contrairement au plus petit élément. Une partie bornée doit être à la fois majorée et minorée. Pour J, l’ensemble des minorants est ]-∞,0], et non ]-∞,1].

Explication

Lorsqu’un plus grand élément existe, il est un majorant et constitue le plus petit des majorants, donc il vaut le supremum. Une borne supérieure peut toutefois ne pas appartenir à l’ensemble, comme pour un intervalle ouvert à droite.

Explication

La relation $L(x+p)=L(x)+p$ est vraie pour tout réel x et tout entier relatif p. L’encadrement de la partie entière est $L(x)\le x<L(x)+1$, avec une borne droite stricte. La fonction est croissante, mais sa valeur reste un entier et n’est donc pas nécessairement égale à x. La borne gauche n’est pas remplacée par une inégalité stricte.

Explication

Si tout élément de $A$ est inférieur ou égal à tout élément de $B$, chaque élément de $B$ est un majorant de $A$ et chaque élément de $A$ est un minorant de $B$. On obtient donc $\sup A\le\inf B$, sous les hypothèses de non-vacuité.

Explication

La caractérisation de la partie entière est $L(x)\le x<L(x)+1$ : la borne gauche est atteinte ou dépassée, tandis que la borne droite est stricte. La translation par un entier vérifie $L(x+p)=L(x)+p$. Enfin, si $x\le y$, la croissance donne $L(x)\le L(y)$, sans impliquer $L(x)=x$.

Explication

Le plus grand élément doit appartenir à A et dominer tous les éléments de A. Un majorant quelconque peut être extérieur à A. Le plus petit élément est défini par la propriété duale, et l’ensemble E possède bien un minimum 0 sans posséder de maximum.

Explication

La borne inférieure doit être un minorant et des éléments de la partie doivent être arbitrairement proches par excès. La condition exacte est $\rho\le x<\rho+\varepsilon$ pour tout $\varepsilon>0$.

Explication

Un majorant est supérieur ou égal à chaque élément de l’ensemble, sans devoir lui appartenir. Un minorant est inférieur ou égal à chaque élément, et une partie bornée possède simultanément ces deux types de bornes. L’ensemble indiqué constitue bien l’ensemble des majorants de F, tandis que les minorants de J sont les réels inférieurs ou égaux à 0.

Explication

Le théorème de la borne supérieure assure l’existence d’un supremum pour toute partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$. La condition de minoration conduit de manière analogue à l’existence d’un infimum.

Explication

Pour des réels positifs, l’inégalité donnée relie la différence des racines carrées à la racine de la différence absolue. Elle reste valable lorsque l’un des deux nombres est nul et ne requiert pas que les deux soient distincts.

Explication

L’infimum est défini comme le plus grand des minorants et peut ne pas appartenir à la partie. Lorsqu’un minimum existe, il coïncide avec l’infimum.

Explication

Une partie bornée est simultanément majorée et minorée. La condition « majorée » concerne l’existence d’un majorant, tandis que la condition « minorée » concerne l’existence d’un minorant. Les autres associations inversent ou modifient ces deux notions.

Explication

La partie entière L(x) est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x. Elle est donc entière et ne coïncide pas nécessairement avec x, notamment lorsque x n’est pas entier. La définition donnée par la proposition correcte caractérise directement cette fonction.

Explication

La caractérisation du supremum combine le fait d’être un majorant et l’existence d’éléments de la partie arbitrairement proches par défaut. L’inégalité $\alpha-\varepsilon<x\le\alpha$ exprime cette proximité.