Qu'est-ce qu'un majorant d'un ensemble A ?
Un réel M tel que tout élément de A soit inférieur ou égal à M.
Qu'est-ce qu'un minorant d'un ensemble A ?
Un réel m tel que tout élément de A soit supérieur ou égal à m.
Quand une partie de R est-elle bornée ?
Lorsqu'elle est à la fois majorée et minorée.
Quels sont les majorants de l'ensemble F ? Pour F=]0;20]
L'ensemble [20 ;
Quels sont les minorants de l'ensemble J ? [0; 20[
L'ensemble ]-∞,0].
Qu'est-ce qu'un plus grand élément d'un ensemble A ?
Un réel y dans A tel que tout élément de A est inférieur ou égal à y.
Qu'impose la notation max A ?
Elle désigne le plus grand élément de A.
Qu'est-ce qu'un plus petit élément d'un ensemble A ?
Un réel y dans A tel que tout élément de A est supérieur ou égal à y.
Qu'impose la notation min A ?
Elle désigne le plus petit élément de A.
Une partie peut-elle avoir un plus petit élément sans plus grand élément ?
Oui, par exemple E=[0,+∞[ a un minimum sans maximum.
Qu'est-ce que la partie entière L(x) d'un réel x ?
Le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x.
Quelle inégalité caractérise la partie entière L(x) pour tout réel x ?
.
Quelle étape utilise-t-on pour démontrer que la fonction partie entière est croissante ?
On utilise l'inégalité puis et la définition de .
Quelle formule relie la partie entière de à celle de pour un entier p ?
.
Qu'est-ce qu'une borne supérieure d'un ensemble A ?
Le plus petit élément des majorants de A.
Comment note-t-on la borne supérieure d'un ensemble A ?
On la note sup A.
Qu'est-ce qu'une borne inférieure d'un ensemble A ?
Le plus grand élément des minorants de A.
Comment note-t-on la borne inférieure d'un ensemble A ?
On la note inf A.
Que garantit l'existence d'une borne supérieure pour une partie non vide de ℝ ?
Qu'elle est majorée.
Que garantit l'existence d'une borne inférieure pour une partie non vide de ℝ ?
Qu'elle est minorée.
Que vaut max A si A possède un plus grand élément ?
max A = sup A.
Une borne supérieure peut-elle exister sans maximum ?
Oui, une borne supérieure peut exister sans maximum.
Qu'impose la définition d'une borne supérieure α d'une partie A ?
α est un majorant de A et pour tout ε>0, il existe x∈A avec α-ε<x≤α.
Qu'impose la définition d'une borne inférieure ρ d'une partie A ?
ρ est un minorant de A et pour tout ε>0, il existe x∈A avec ρ≤x<ρ+ε.
Quelle caractéristique supplémentaire possède une borne supérieure d'une partie A ?
Il existe une suite d'éléments de A qui converge vers cette borne.
Que vaut la relation entre sup A et inf B si A,B non vides et tout élément de A ≤ tout élément de B ?
Alors sup A ≤ inf B.
Quelle est la valeur de sup A pour A=[0,1[ ?
Sup A vaut 1.
Vers quelle valeur converge la suite u_n=1-1/n avec termes dans A=[0,1[ ?
Elle converge vers 1.
Quelle inégalité relie et pour tous a,b≥0 ?
On a .
Pourquoi la propriété de borne supérieure est-elle fausse dans Q ?
Parce que l'ensemble A={x∈Q : x² ≤ 2} est majoré mais sans supremum rationnel.
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1. À propos des minorants d’une partie réelle :
2. Les relations entre maximum et borne supérieure peuvent-elles être caractérisées ainsi ?
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