Fiche de révision : Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et représentation graphique
2. Variations et extremum
3. Forme canonique
4. Racines et résolution d’équations
5. Forme factorisée et racines

📖 1. Définition et représentation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : une fonction définie sur ℝ dont l’expression développée est $f(x)=ax^2+bx+c$, avec a, b et c réels et $a\ne0$.

📝 Points essentiels

• La courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré est une parabole de sommet S(α ; β) et d’axe de symétrie d’équation x=α, où β=f(α).

💡 Astuce mémo

Une parabole dont le sommet S(α ; β) commande la symétrie et les variations.

📖 2. Variations et extremum

★ À maîtriser

📌 Si a>0, la parabole est tournée vers le haut, la fonction est strictement décroissante sur ]−∞ ; α] puis strictement croissante sur [α ; +∞[, et elle admet un minimum égal à β en α.

Compléments

• Pour la fonction $f(x)=-x^2+2x+3$, le sommet a pour coordonnées S(1 ; 4) et la fonction admet un maximum égal à 4 en x=1.

💡 Astuce mémo

a>0 : minimum et parabole vers le haut ; a<0 : maximum et parabole vers le bas.

📖 3. Forme canonique

★ À maîtriser

📌 Une même fonction polynôme du second degré peut être écrite sous forme développée, factorisée ou canonique.

📐 Formule — Pour $f(x)=ax^2+bx+c$, la forme canonique est $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

Compléments

• La fonction $f(x)=-2x^2+12x-3$ a pour forme canonique $f(x)=-2(x-3)^2+15$.

📌 La forme canonique permet de déterminer les variations d’une fonction du second degré à partir du signe de a et de l’abscisse α du sommet.

💡 Astuce mémo

Coefficient a, abscisse α, image β : α=-b/(2a), puis β=f(α).

📖 4. Racines et résolution d’équations

★ À maîtriser

• Pour résoudre une équation produit nul, on factorise l’expression puis on utilise la règle selon laquelle un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.

Compléments

• L’équation $x^2-2x+1=0$ se réécrit $(x-1)^2=0$ et possède l’unique solution x=1.

• L’équation $2x^2+2x-4=0$ se factorise en $2(x-1)(x+2)=0$ et possède les solutions x=1 et x=−2.

💡 Astuce mémo

Factoriser, appliquer un produit nul, puis obtenir les solutions.

📖 5. Forme factorisée et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Racines : les solutions de l’équation $ax^2+bx+c=0$, c’est-à-dire les valeurs de x telles que f(x)=0.

★ À maîtriser

📌 Si x₁ et x₂ sont les racines de $ax^2+bx+c$, alors sa forme factorisée est $a(x-x_1)(x-x_2)$.

📐 Formule — Pour les racines x₁ et x₂ de $ax^2+bx+c$, on a $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et $x_1x_2=\frac{c}{a}$.

Compléments

• Les racines évidentes sont souvent recherchées parmi les entiers −3, −2, −1, 0, 1, 2 et 3.

• Pour $f(x)=2x^2-x-3$, −1 est une racine évidente et, avec $x_1+x_2=\frac{1}{2}$, l’autre racine est $x_2=\frac{3}{2}$ ; ainsi $f(x)=2(x+1)(x-\frac{3}{2})$.

💡 Astuce mémo

Racines connues → forme factorisée ; forme factorisée → résolution immédiate.

📊 Tableaux de synthèse

Effet du signe de a