QCM : Fonctions polynômes du second degré — 11 questions

Question 1

1. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme du second degré ?

f(x)=\frac{2}{x}+1

f(x)=\sqrt{x}+3

f(x)=4x-7

f(x)=3x^2-5x+1

Explication

Une fonction polynôme du second degré possède une expression $ax^2+bx+c$ avec des coefficients réels et $a\ne0$ . L’expression affine proposée ne convient pas, car son coefficient de $x^2$ est nul.

Answer

$$f(x)=3x^2-5x+1$$

Question 2

2. Quelle propriété caractérise la courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré dont le sommet est $S(\alpha\,;\,\beta)$ ?

Elle est une parabole d’axe vertical d’équation

x=\alpha

.

Elle est une droite passant par le point

S(\alpha\,;\,\beta)

.

Elle est un cercle de centre

S(\alpha\,;\,\beta)

.

Elle est une parabole d’axe horizontal d’équation

y=\beta

.

Explication

La courbe représentative est une parabole dont l’axe de symétrie est la droite verticale $x=\alpha$ . Une droite ne possède pas nécessairement de sommet, ce qui la distingue de cette représentation.

Answer

Elle est une parabole d’axe vertical d’équation $$x=\alpha$$.

Question 3

3. Pour une fonction polynôme du second degré dont le coefficient $a$ est positif, quel comportement est correct ?

Elle croît jusqu’à l’abscisse du sommet puis décroît, avec un maximum.

Elle décroît jusqu’à l’abscisse du sommet puis croît, avec un minimum.

Elle décroît sur tout

\mathbb{R}

et ne possède pas d’extremum.

Elle croît sur tout

\mathbb{R}

et possède un maximum au sommet.

Explication

Lorsque $a>0$ , la parabole est tournée vers le haut : la fonction décroît avant $\alpha$ , puis croît après $\alpha$ , et son extremum est un minimum égal à $\beta$ . Le maximum correspond au cas où $a<0$ .

Answer

Elle décroît jusqu’à l’abscisse du sommet puis croît, avec un minimum.

Question 4

4. Pour $f(x)=-x^2+2x+3$ , quelles sont les coordonnées du sommet et la nature de l’extremum ?

S(2\,;\,3)

et un maximum égal à

3

.

S(1\,;\,-4)

et un minimum égal à

-4

.

S(1\,;\,4)

et un maximum égal à

4

.

S(-1\,;\,4)

et un minimum égal à

4

.

Explication

Ici, le coefficient du terme en $x^2$ vaut $-1$ , donc la parabole est tournée vers le bas et son sommet est un maximum. Le calcul donne une abscisse de sommet $x=1$ et une ordonnée $f(1)=4$ .

Answer

$$S(1\,;\,4)$$ et un maximum égal à $$4$$.

Question 5

5. Quelle distinction entre les formes d’une même fonction polynôme du second degré est correcte ?

La forme développée montre

ax^2+bx+c

, tandis que la forme canonique contient

a(x-\alpha)^2+\beta

.

La forme développée contient un carré unique, tandis que la forme canonique montre trois termes séparés.

La forme développée donne les racines, tandis que la forme canonique supprime le terme en

x^2

.

La forme développée et la forme canonique sont deux expressions réservées à des fonctions différentes.

Explication

Une même fonction peut être écrite sous forme développée, factorisée ou canonique. La forme développée présente les trois termes $ax^2$ , $bx$ et $c$ , alors que la forme canonique regroupe la variable dans un carré.

Answer

La forme développée montre $$ax^2+bx+c$$, tandis que la forme canonique contient $$a(x-\alpha)^2+\beta$$.

Question 6

6. Pour $f(x)=6x^2-12x+5$ , quelles sont les valeurs de $\alpha$ et de $\beta$ dans la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ ?

\alpha=-1

et

\beta=-1

\alpha=1

et

\beta=5

\alpha=1

et

\beta=-1

\alpha=2

et

\beta=-7

Explication

La formule donne $\alpha=-\frac{b}{2a}=-\frac{-12}{2\times6}=1$ , puis $\beta=f(1)=6-12+5=-1$ . La valeur $-\frac{b}{a}$ ne correspond pas à l’abscisse du sommet, mais à une autre relation algébrique dans le cas où elle s’applique.

Answer

$$\alpha=1$$ et $$\beta=-1$$

Question 7

7. Quelle règle permet de résoudre une équation produit nul après factorisation ?

Il faut annuler le coefficient placé devant les facteurs

Le produit est nul lorsqu’au moins un de ses facteurs est nul

Le produit est nul lorsque la somme de ses facteurs est nulle

Chaque facteur doit être égal à la valeur du produit

Explication

Après avoir factorisé, on applique la propriété du produit nul : un produit vaut zéro dès qu’au moins un facteur vaut zéro. La somme des facteurs n’intervient pas dans cette règle, ce qui rend la deuxième proposition incorrecte.

Answer

Le produit est nul lorsqu’au moins un de ses facteurs est nul

Question 8

8. Quelles sont les solutions de l’équation $2x^2+2x-4=0$ après factorisation ?

x=2

et

x=-1

x=2

et

x=-4

x=-2

et

x=-4

x=1

et

x=-2

Explication

La factorisation donne $2(x-1)(x+2)=0$ , donc les facteurs variables s’annulent pour $x=1$ ou $x=-2$ . Le coefficient $2$ ne constitue pas une solution, contrairement à la confusion proposée dans la troisième réponse.

Answer

$$x=1$$ et $$x=-2$$

Question 9

9. Comment définit-on une racine du trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

C’est une valeur de

x

telle que

f(x)=1

C’est la valeur du coefficient

a

dans le trinôme

C’est une valeur de

x

telle que

f(x)=0

C’est l’abscisse du sommet de la parabole

Explication

Une racine est une solution de l’équation $ax^2+bx+c=0$ , donc elle annule le trinôme. L’abscisse du sommet décrit la position du sommet, mais elle n’annule pas nécessairement la fonction.

Answer

C’est une valeur de $$x$$ telle que $$f(x)=0$$

Question 10

10. Un trinôme $ax^2+bx+c$ possède les racines $x_1$ et $x_2$ . Quelle est sa forme factorisée ?

(x+x_1)(x+x_2)+c

a(x-x_1-x_2)

a(x+x_1)(x+x_2)

a(x-x_1)(x-x_2)

Explication

La forme factorisée s’obtient en associant à chaque racine un facteur qui s’annule, ce qui donne $a(x-x_1)(x-x_2)$ . La forme utilisant les coordonnées du sommet relève de la forme canonique, et les signes des deux autres facteurs ne correspondent pas aux racines données.

Answer

$$a(x-x_1)(x-x_2)$$

Question 11

11. Pour le trinôme $2x^2-x-3$ , quelle écriture factorisée est correcte ?

(x+1)(x-\frac{3}{2})

2(x+3)(x-\frac{1}{2})

2(x+1)(x-\frac{3}{2})

2(x-1)(x+\frac{3}{2})

Explication

Le trinôme admet les racines $-1$ et $\frac{3}{2}$ , donc sa forme factorisée est $2(x+1)(x-\frac{3}{2})$ . La deuxième proposition inverse les signes des racines et ne correspond donc pas aux valeurs qui annulent le trinôme.

Answer

$$2(x+1)(x-\frac{3}{2})$$

QCM : Fonctions polynômes du second degré — 11 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme du second degré ?

2. Quelle propriété caractérise la courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré dont le sommet est $S(\alpha\,;\,\beta)$ ?

3. Pour une fonction polynôme du second degré dont le coefficient $a$ est positif, quel comportement est correct ?

4. Pour $f(x)=-x^2+2x+3$ , quelles sont les coordonnées du sommet et la nature de l’extremum ?

5. Quelle distinction entre les formes d’une même fonction polynôme du second degré est correcte ?

6. Pour $f(x)=6x^2-12x+5$ , quelles sont les valeurs de $\alpha$ et de $\beta$ dans la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ ?

7. Quelle règle permet de résoudre une équation produit nul après factorisation ?

8. Quelles sont les solutions de l’équation $2x^2+2x-4=0$ après factorisation ?

9. Comment définit-on une racine du trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

10. Un trinôme $ax^2+bx+c$ possède les racines $x_1$ et $x_2$ . Quelle est sa forme factorisée ?

11. Pour le trinôme $2x^2-x-3$ , quelle écriture factorisée est correcte ?

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QCM : Fonctions polynômes du second degré — 11 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme du second degré ?

2. Quelle propriété caractérise la courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré dont le sommet est S(α ; β)S(\alpha\,;\,\beta)S(α;β) ?

3. Pour une fonction polynôme du second degré dont le coefficient aaa est positif, quel comportement est correct ?

4. Pour f(x)=−x2+2x+3f(x)=-x^2+2x+3f(x)=−x2+2x+3, quelles sont les coordonnées du sommet et la nature de l’extremum ?

5. Quelle distinction entre les formes d’une même fonction polynôme du second degré est correcte ?

6. Pour f(x)=6x2−12x+5f(x)=6x^2-12x+5f(x)=6x2−12x+5, quelles sont les valeurs de α\alphaα et de β\betaβ dans la forme canonique f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\betaf(x)=a(x−α)2+β ?

7. Quelle règle permet de résoudre une équation produit nul après factorisation ?

8. Quelles sont les solutions de l’équation 2x2+2x−4=02x^2+2x-4=02x2+2x−4=0 après factorisation ?

9. Comment définit-on une racine du trinôme f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c ?

10. Un trinôme ax2+bx+cax^2+bx+cax2+bx+c possède les racines x1x_1x1​ et x2x_2x2​. Quelle est sa forme factorisée ?

11. Pour le trinôme 2x2−x−32x^2-x-32x2−x−3, quelle écriture factorisée est correcte ?

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2. Quelle propriété caractérise la courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré dont le sommet est $S(\alpha\,;\,\beta)$ ?

3. Pour une fonction polynôme du second degré dont le coefficient $a$ est positif, quel comportement est correct ?

4. Pour $f(x)=-x^2+2x+3$ , quelles sont les coordonnées du sommet et la nature de l’extremum ?

6. Pour $f(x)=6x^2-12x+5$ , quelles sont les valeurs de $\alpha$ et de $\beta$ dans la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ ?

8. Quelles sont les solutions de l’équation $2x^2+2x-4=0$ après factorisation ?

9. Comment définit-on une racine du trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

10. Un trinôme $ax^2+bx+c$ possède les racines $x_1$ et $x_2$ . Quelle est sa forme factorisée ?

11. Pour le trinôme $2x^2-x-3$ , quelle écriture factorisée est correcte ?