Fiche de révision : Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et forme développée
2. Forme canonique et applications

📖 1. Définition et forme développée

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^2+bx+c$, où $a$, $b$ et $c$ sont réels et $a\neq 0$.

📝 Points essentiels

📌 Dans l’expression $ax^2+bx+c$, les trois termes du trinôme du second degré sont $ax^2$, $bx$ et $c$, et cette écriture est appelée forme développée.

• Pour $f(x)=-7x^2+5x-4$, les coefficients sont $a=-7$, $b=5$ et $c=-4$.

• Pour $f(x)=3x^2+\frac{5}{3}x$, les coefficients sont $a=3$, $b=\frac{5}{3}$ et $c=0$.

📖 2. Forme canonique et applications

★ À maîtriser

• Pour transformer un trinôme en forme canonique, on complète le carré en développant un carré parfait puis en ajoutant et soustrayant le terme nécessaire.

• Le trinôme $x^2+4x-5$ s’écrit sous forme canonique $x^2+4x-5=(x+2)^2-9$.

• La forme canonique $(x+2)^2-9$ permet de déterminer un minimum égal à $-9$ atteint pour $x=-2$.

📐 Formule — Pour $f(x)=ax^2+bx+c$, la forme canonique s’écrit $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=\frac{-b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

Compléments

• La forme canonique $x^2+4x-5=(x+2)^2-9$ permet d’obtenir la forme factorisée $(x+5)(x-1)$ lorsque la factorisation est possible.

• La démonstration de la forme canonique consiste à factoriser $a$, à compléter le carré dans $x^2+\frac{b}{a}x$, puis à regrouper la constante obtenue avec $c$.

💡 Astuce mémo

Compléter le carré → obtenir la forme canonique → lire l’extremum