Fiche de révision : Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et coefficients
2. Forme canonique
3. Choisir la forme adaptée
4. Variations du trinôme
5. Parabole et symétrie

📖 1. Définition et coefficients

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Une fonction polynôme du second degré est une fonction définie sur ℝ qui s’écrit f(x) = ax² + bx + c, où a, b et c sont des réels et a ≠ 0.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

• Dans l’écriture développée et réduite f(x) = ax² + bx + c, a, b et c sont les coefficients du polynôme.

🔄 Processus — Pour reconnaître un polynôme du second degré, il faut développer et réduire l’expression, puis vérifier qu’elle est définie sur ℝ et que le coefficient de x² est non nul.

Compléments

• La fonction f(x) = 2x² − 3x + 4 est un polynôme du second degré dont les coefficients sont a = 2, b = −3 et c = 4.

🔄 Processus — Pour déterminer un polynôme du second degré connaissant trois images, on pose f(x) = ax² + bx + c puis on utilise les trois valeurs données pour obtenir un système de trois équations en a, b et c.

💡 Astuce mémo

Identifier le terme en x²

📖 2. Forme canonique

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : D’un polynôme du second degré est f(x) = a(x − α)² + β, avec α = −b/(2a) et β = f(α).

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

• Dans la forme canonique f(x) = a(x − α)² + β, le nombre α est l’abscisse du sommet et β est son ordonnée.

Compléments

🔄 Processus — On obtient la forme canonique en complétant le carré dans l’expression ax² + bx + c.

🔄 Processus — Pour résoudre une équation f(x) = 0 à partir de la forme canonique, on remplace f(x) par a(x − α)² + β puis on isole le carré.

💡 Astuce mémo

α donne l’abscisse, β l’image

📖 3. Choisir la forme adaptée

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Un même trinôme peut être écrit sous forme développée et réduite, sous forme canonique ou sous forme factorisée, et la forme la plus adaptée dépend de la question posée.

🔄 Processus — Pour déterminer les antécédents d’un nombre, on résout l’équation f(x) = ce nombre en choisissant la forme d’écriture la plus adaptée.

Compléments

🔄 Processus — Pour déterminer les solutions de f(t) = 0 lorsque f(t) = 2(t + 1)(3 − t), la forme factorisée permet de résoudre directement t + 1 = 0 ou 3 − t = 0.

🔄 Processus — Pour déterminer l’image d’un nombre, on remplace directement la variable par ce nombre dans l’expression de la fonction.

💡 Astuce mémo

Développée, canonique ou factorisée

📖 4. Variations du trinôme

📝 Points essentiels

📌 Si a > 0, f est décroissante sur ]−∞ ; α] puis croissante sur [α ; +∞[ ; elle admet donc un minimum égal à β en x = α.

📌 Si a < 0, f est croissante sur ]−∞ ; α] puis décroissante sur [α ; +∞[ ; elle admet donc un maximum égal à β en x = α.

• Le sens des variations d’un polynôme du second degré est déterminé par le signe de son coefficient dominant a.

💡 Astuce mémo

Le signe de a donne le sens

📖 5. Parabole et symétrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : La représentation graphique d’un polynôme du second degré f(x) = ax² + bx + c est la parabole d’équation y = ax² + bx + c.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

• La parabole a pour sommet le point S(α ; β), où α = −b/(2a) et β = f(α).

• L’axe de symétrie de la parabole est la droite d’équation x = α.

Compléments

📌 Si a > 0, la parabole est tournée vers le haut ; si a < 0, elle est tournée vers le bas.

📌 Si deux nombres u et v ont la même image par f, alors l’axe de symétrie est situé à α = (u + v)/2.

💡 Astuce mémo

Sommet S(α ; β), axe x = α

📊 Tableaux de synthèse

Signe de a et variations

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Une expression contenant x² n’est pas forcément du second degré si elle se simplifie ou si son domaine n’est pas ℝ.
2. β n’est pas égal à f(0) en général : il s’agit de l’image de α.
3. La forme canonique est adaptée au sommet et aux variations, tandis que la forme factorisée est adaptée aux racines lorsqu’elle est disponible.
4. Lorsque a > 0, le sommet correspond à un minimum et non à un maximum.
5. Le sommet n’est pas nécessairement l’origine du repère.
6. Une expression factorisée ou développée peut représenter le même polynôme après simplification.
7. Le sommet a pour coordonnées (α ; β), et non (β ; α).