Fiche de révision : Théorème de Pythagore et racines carrées

📋 Plan du Cours

1. Origine et égalité de Pythagore
2. Définition des racines carrées
3. Propriétés et encadrement des racines
4. Calculer une racine carrée
5. Calculer une longueur avec Pythagore

📖 1. Origine et égalité de Pythagore

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans un triangle ABC rectangle en A, l’égalité de Pythagore est BC² = AB² + AC².

Compléments

• Pythagore de Samos a vécu de -569 à -475 et a fondé l’école pythagoricienne à Crotone, en Italie du Sud.

• Le théorème de Pythagore était déjà connu des Chinois et des Babyloniens environ 1000 ans avant Pythagore.

• Les Égyptiens utilisaient une corde à 13 nœuds régulièrement répartis pour former un triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5 et obtenir un angle droit.

• Dans un triangle rectangle de côtés 3 et 4 et d’hypoténuse 5, on vérifie que 5² = 3² + 4² = 25.

💡 Astuce mémo

3-4-5 : le triangle droit

📖 2. Définition des racines carrées

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : D’un nombre a est le nombre toujours positif dont le carré est égal à a, et elle se note √a.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

• Les racines carrées utiles à connaître sont √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4, √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7, √64 = 8, √81 = 9, √100 = 10, √121 = 11 et √144 = 12.

📌 La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas dans les nombres étudiés ici, car le carré d’un nombre est toujours positif.

Compléments

• On a √36 = 6 parce que 6² = 36.

• La découverte de √2 par la diagonale d’un carré de côté 1 a bouleversé les pythagoriciens, qui ne reconnaissaient jusque-là que les nombres rationnels.

💡 Astuce mémo

La racine défait le carré

📖 3. Propriétés et encadrement des racines

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🔄 Processus — Pour encadrer √20 par deux entiers consécutifs, on utilise 16 < 20 < 25, puis √16 < √20 < √25, donc 4 < √20 < 5.

📌 Si un nombre x vérifie x² = a avec a positif, alors sa valeur positive est x = √a.

📌 Une valeur exacte comme √117 est différente d’une valeur approchée comme 10,8, qui résulte d’un arrondi.

Compléments

• La valeur exacte de √117 ne s’écrit pas nécessairement sous forme décimale finie, mais elle peut être utilisée telle quelle dans un résultat.

💡 Astuce mémo

Entre deux carrés, deux entiers

📖 4. Calculer une racine carrée

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🔄 Processus — Pour calculer une racine carrée exacte, on recherche le nombre positif dont le carré est égal au nombre donné.

📌 Lorsque la racine carrée ne possède pas de valeur décimale exacte, on utilise une calculatrice pour obtenir une valeur approchée.

Compléments

• La solution positive de x² = 81 est x = √81 = 9, et celle de y² = 100 est y = √100 = 10.

• La solution positive de z² = 5,5225 est z = √5,5225 = 2,35.

• Pour t² = 14, la valeur positive est t = √14 ≈ 3,74.

📖 5. Calculer une longueur avec Pythagore

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de Pythagore : Si un triangle ABC est rectangle en A, alors le carré de son hypoténuse BC est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : BC² = AB² + AC².

📝 Points essentiels

🔄 Processus — Pour calculer l’hypoténuse, on identifie le côté opposé à l’angle droit, on applique BC² = AB² + AC², puis on prend la racine carrée positive.

• Dans le triangle ABC rectangle en A avec AB = 6 cm et AC = 9 cm, on obtient BC² = 6² + 9² = 117, donc BC = √117 cm ≈ 10,8 cm au dixième de centimètre.

🔄 Processus — Pour calculer un côté de l’angle droit, on isole son carré dans l’égalité de Pythagore en soustrayant le carré de l’autre côté de l’angle droit au carré de l’hypoténuse, puis on prend la racine carrée positive.

💡 Astuce mémo

Hypoténuse² = côtés² + côtés²

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. La corde à 13 nœuds sert à construire un triangle rectangle, et non à calculer directement une longueur.
2. La racine carrée de a est positive, même si d’autres nombres peuvent avoir le même carré.
3. √a désigne la racine positive, pas une valeur négative.
4. Une valeur approchée ne remplace pas la valeur exacte lorsque celle-ci peut être conservée sous forme de racine.
5. Le théorème s’applique uniquement lorsque le triangle est rectangle.
6. Le côté BC est l’hypoténuse car il est opposé à l’angle droit.
7. √−5 n’est pas un nombre réel, contrairement à √5.