QCM : Fonctions polynômes du second degré — 12 questions

Question 1

1. Pour vérifier qu’une expression correspond bien à un polynôme du second degré, quelle démarche est la plus appropriée ?

Remplacer x par une constante, puis vérifier la valeur obtenue

Comparer directement les formes sans développer ni réduire, puis conclure sur le degré

Factoriser sans simplifier, puis vérifier que le domaine contient 0

Développer et réduire, puis vérifier qu’elle est définie sur ℝ et que le coefficient de x² est non nul

Explication

La reconnaissance passe par le développement et la réduction, puis par la vérification sur ℝ et du coefficient de x² (non nul). Une simple forme factorisée ou une ressemblance visuelle ne suffit pas sans simplification.

Answer

Développer et réduire, puis vérifier qu’elle est définie sur ℝ et que le coefficient de x² est non nul

Question 2

2. Quand une fonction est-elle considérée comme une fonction polynôme du second degré ?

Lorsqu’elle est définie sur ℝ et s’écrit f(x)=ax²+bx+c avec a,b,c réels et a≠0

Lorsqu’elle s’écrit f(x)=ax²+bx+c avec a,b,c réels, même si a=0

Lorsqu’elle est définie sur ℝ et contient un terme en x², même après simplification

Lorsqu’elle s’écrit f(x)=(px+q)² sur ℝ, quelle que soit la valeur de p

Explication

Une fonction polynôme du second degré est définie sur ℝ et s’écrit f(x)=ax²+bx+c avec a,b,c réels et un coefficient de x² non nul (a≠0). Les autres propositions omettent ou affaiblissent cette condition sur a.

Answer

Lorsqu’elle est définie sur ℝ et s’écrit f(x)=ax²+bx+c avec a,b,c réels et a≠0

Question 3

3. Dans la forme canonique f(x)=a(x−α)²+β, à quelle grandeur correspond α ?

À l’abscisse du sommet

À l’ordonnée du sommet

À l’ordonnée de l’origine

À la valeur de f(0)

Explication

Dans cette forme, α est l’abscisse du sommet. β correspond à l’ordonnée, et α n’est pas en général égal à f(0).

Answer

À l’abscisse du sommet

Question 4

4. Quelle expression donne correctement α et β à partir de f(x)=ax²+bx+c sous forme canonique ?

α=−b/(2a) et β=f(α)

α=−2a/b et β=f(−α)

α=f(0) et β=a−b

α=2a/b et β=f(0)

Explication

La forme canonique impose α=−b/(2a) et β=f(α). En général, β n’est pas f(0) mais l’image au point α.

Answer

α=−b/(2a) et β=f(α)

Question 5

5. Pour déterminer les antécédents d’un nombre y, que faut-il résoudre ?

Résoudre l’équation f(x)=0 pour trouver y

Résoudre l’équation f(y)=x pour trouver les valeurs de y

Résoudre l’inéquation f(x)≥y pour trouver les images

Résoudre l’équation f(x)=y pour trouver les valeurs de x

Explication

Chercher des antécédents de y revient à trouver les x tels que f(x)=y. Une image est f(x) (le résultat), tandis qu’un antécédent est une valeur de x.

Answer

Résoudre l’équation f(x)=y pour trouver les valeurs de x

Question 6

6. On sait que f(t)=2(t+1)(3−t). Pour résoudre f(t)=0, quel choix de forme permet de conclure rapidement ?

Remplacer t par la valeur de l’ordonnée à l’origine puis résoudre

Mettre la fonction sous forme canonique puis résoudre a(t−α)²+β=1

Développer complètement pour obtenir un polynôme de degré 2 à résoudre

Utiliser la forme factorisée pour résoudre t+1=0 ou 3−t=0

Explication

Avec une forme factorisée, f(t)=0 se traite directement en annulant un facteur : t+1=0 ou 3−t=0. Développer ou passer par la forme canonique n’est pas l’approche la plus directe ici.

Answer

Utiliser la forme factorisée pour résoudre t+1=0 ou 3−t=0

Question 7

7. Si a > 0, comment la fonction du second degré varie-t-elle autour de α et quel extremum obtient-elle au sommet ?

Elle est croissante sur ]−∞ ; α] puis décroissante sur [α ; +∞[ et admet un maximum égal à β en x = α

Elle est décroissante sur ]−∞ ; α] puis croissante sur [α ; +∞[ et admet un maximum égal à β en x = α

Elle est décroissante sur ]−∞ ; α] puis croissante sur [α ; +∞[ et admet un minimum égal à β en x = α

Elle est croissante sur ]−∞ ; α] puis décroissante sur [α ; +∞[ et admet un minimum égal à β en x = α

Explication

Quand a > 0, la courbe descend jusqu’à x = α puis remonte ; le sommet correspond donc à un minimum en x = α, de valeur β. L’option 2 inverse la nature de l’extrémum (minimum au lieu de maximum).

Answer

Elle est décroissante sur ]−∞ ; α] puis croissante sur [α ; +∞[ et admet un minimum égal à β en x = α

Question 8

8. Si a < 0, quelle est la nature de l’extrémum au sommet et sur quels intervalles la fonction est-elle croissante puis décroissante ?

Elle est décroissante sur ]−∞ ; α] puis croissante sur [α ; +∞[ et admet un maximum égal à β en x = α

Elle est décroissante sur ]−∞ ; α] puis croissante sur [α ; +∞[ et admet un minimum égal à β en x = α

Elle est croissante sur ]−∞ ; α] puis décroissante sur [α ; +∞[ et admet un minimum égal à β en x = α

Elle est croissante sur ]−∞ ; α] puis décroissante sur [α ; +∞[ et admet un maximum égal à β en x = α

Explication

Pour a < 0, la fonction monte jusqu’à x = α puis redescend : le sommet donne donc un maximum de valeur β en x = α. Les options 2 et 4 confondent la variation de part et d’autre de α, et l’option 3 confond minimum et maximum.

Answer

Elle est croissante sur ]−∞ ; α] puis décroissante sur [α ; +∞[ et admet un maximum égal à β en x = α

Question 9

9. De quel élément dépend essentiellement le sens des variations d’un polynôme du second degré ?

Du signe de b

Du signe de son coefficient dominant a

Du signe de c

De la valeur de β

Explication

Le sens des variations d’un polynôme du second degré est déterminé par le signe du coefficient dominant a. Les autres coefficients (b, c) ne fixent pas à eux seuls cette orientation des variations.

Answer

Du signe de son coefficient dominant a

Question 10

10. Quelle équation décrit la parabole correspondant à un polynôme du second degré f(x) = ax² + bx + c ?

y = ax² + bx + c

y = ax² + c

y = bx + c

x = ax² + bx + c

Explication

La représentation graphique d’un polynôme du second degré est une parabole de l’équation y = ax² + bx + c. Les autres propositions remplacent à tort la variable x ou omettent des termes.

Answer

y = ax² + bx + c

Question 11

11. Le sommet d’une parabole a pour coordonnées S(α ; β). Quelle expression donne α ?

α = −b/(2a)

α = 2a/b

α = −b/a

α = b/(2a)

Explication

On a α = −b/(2a) pour le sommet S(α ; β). Les distracteurs proposés inversent le signe ou modifient le facteur 2, ce qui déplace l’axe de symétrie.

Answer

α = −b/(2a)

Question 12

12. Si deux nombres u et v ont la même image par f, où se situe l’axe de symétrie (en utilisant α) ?

x = u + v

y = (u + v)/2

x = (u + v)/2

y = u + v

Explication

Si f(u) = f(v), alors l’axe de symétrie est situé à α = (u + v)/2, donc l’équation de l’axe est x = α. Les options en y confondent la variable de l’équation de l’axe (il s’agit de x, pas de y).

Answer

x = (u + v)/2

QCM : Fonctions polynômes du second degré — 12 questions

Questions et réponses du QCM

1. Pour vérifier qu’une expression correspond bien à un polynôme du second degré, quelle démarche est la plus appropriée ?

2. Quand une fonction est-elle considérée comme une fonction polynôme du second degré ?

3. Dans la forme canonique f(x)=a(x−α)²+β, à quelle grandeur correspond α ?

4. Quelle expression donne correctement α et β à partir de f(x)=ax²+bx+c sous forme canonique ?

5. Pour déterminer les antécédents d’un nombre y, que faut-il résoudre ?

6. On sait que f(t)=2(t+1)(3−t). Pour résoudre f(t)=0, quel choix de forme permet de conclure rapidement ?

7. Si a > 0, comment la fonction du second degré varie-t-elle autour de α et quel extremum obtient-elle au sommet ?

8. Si a < 0, quelle est la nature de l’extrémum au sommet et sur quels intervalles la fonction est-elle croissante puis décroissante ?

9. De quel élément dépend essentiellement le sens des variations d’un polynôme du second degré ?

10. Quelle équation décrit la parabole correspondant à un polynôme du second degré f(x) = ax² + bx + c ?

11. Le sommet d’une parabole a pour coordonnées S(α ; β). Quelle expression donne α ?

12. Si deux nombres u et v ont la même image par f, où se situe l’axe de symétrie (en utilisant α) ?

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