QCM : Fonctions polynômes du second degré (11 questions)

Question 1

1. Quelle condition distingue la forme développée d’un polynôme du second degré d’une expression polynomiale de degré inférieur ?

Le coefficient de

x^2

est réel et non nul.

Le terme constant est différent de zéro.

Le coefficient de

x

est réel et non nul.

Les trois coefficients sont nécessairement non nuls.

Explication

Dans $f(x)=ax^2+bx+c$ , le coefficient $a$ doit être réel et non nul pour que la fonction soit du second degré. Une fonction affine peut avoir un coefficient de $x$ non nul, mais cela ne lui donne pas un terme en $x^2$ .

Answer

Le coefficient de $$x^2$$ est réel et non nul.

Question 2

2. Sur la représentation graphique d’une fonction, que désignent les racines ?

Les abscisses des points où la courbe coupe l’axe des ordonnées.

Les ordonnées des sommets de la courbe représentative.

Les ordonnées des points où la courbe coupe l’axe des abscisses.

Les abscisses des points où la courbe coupe l’axe des abscisses.

Explication

Une racine se lit sur l’axe horizontal : c’est l’abscisse d’un point où la courbe rencontre l’axe des abscisses. Les ordonnées des intersections avec cet axe valent zéro, mais ne donnent pas les racines.

Answer

Les abscisses des points où la courbe coupe l’axe des abscisses.

Question 3

3. Un trinôme de coefficient dominant $a$ possède deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$ ; quelle factorisation lui correspond ?

a(x+x_1)(x+x_2)

a(x-x_1)(x-x_2)

a(x-x_1)+(x-x_2)

(x-x_1)(x-x_2)+a

Explication

Avec deux racines distinctes, chaque facteur linéaire s’annule pour l’une des racines, et le facteur $a$ conserve le coefficient dominant du trinôme. Des facteurs contenant $x+x_1$ et $x+x_2$ s’annuleraient aux opposés des racines.

Answer

$$a(x-x_1)(x-x_2)$$

Question 4

4. Un trinôme $ax^2+bx+c$ a pour racines $x_1$ et $x_2$ ; quelles relations permettent de retrouver leur somme et leur produit à partir des coefficients ?

x_1+x_2=-\frac{b}{a}

et

x_1x_2=\frac{c}{a}

x_1+x_2=\frac{c}{a}

et

x_1x_2=\frac{b}{a}

x_1+x_2=-\frac{c}{a}

et

x_1x_2=\frac{b}{a}

x_1+x_2=\frac{b}{a}

et

x_1x_2=-\frac{c}{a}

Explication

La somme des racines vaut l’opposé du quotient de $b$ par $a$ , tandis que leur produit vaut le quotient de $c$ par $a$ . Le signe négatif concerne la somme, pas le produit.

Answer

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$ et $$x_1x_2=\frac{c}{a}$$

Question 5

5. Que désigne le discriminant d’un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

Le réel

\Delta=f\left(-\frac{b}{2a}\right)

qui donne l’ordonnée du sommet.

Le réel

\Delta=ac-b^2

calculé à partir de ses coefficients.

Le réel

\Delta=b^2-4ac

calculé à partir de ses coefficients.

Le réel

\Delta=-\frac{b}{2a}

qui donne l’abscisse du sommet.

Explication

Le discriminant est défini par $\Delta=b^2-4ac$ et permet notamment de distinguer le nombre de racines réelles du trinôme. L’expression $-\frac{b}{2a}$ correspond à l’abscisse du sommet, et non au discriminant.

Answer

Le réel $$\Delta=b^2-4ac$$ calculé à partir de ses coefficients.

Question 6

6. Pour une parabole dont le sommet est $S(\alpha;\beta)$ et dont le coefficient $a$ est négatif, quelle propriété caractérise la valeur de la fonction au sommet ?

La fonction atteint un minimum égal à

\beta

pour

x=\alpha

.

La fonction atteint un minimum égal à

\alpha

pour

x=\beta

.

La fonction atteint un maximum égal à

\beta

pour

x=\alpha

.

La fonction atteint un maximum égal à

\alpha

pour

x=\beta

.

Explication

Lorsque $a<0$ , la parabole est tournée vers le bas et la fonction atteint son maximum au sommet, de valeur $\beta$ pour $x=\alpha$ . Un minimum au sommet correspond au cas où $a>0$ .

Answer

La fonction atteint un maximum égal à $$\beta$$ pour $$x=\alpha$$.

Question 7

7. Quel est le rôle du discriminant dans la résolution de l’équation $ax^2+bx+c=0$ ?

Calculer directement l’ordonnée du sommet de la parabole

Déterminer le nombre de solutions réelles selon son signe

Indiquer si la parabole admet un minimum ou un maximum

Fournir la somme et le produit des racines à partir des coefficients

Explication

Le signe du discriminant permet de savoir si l’équation possède zéro, une ou deux solutions réelles. L’ordonnée du sommet se détermine à partir de la forme canonique, et non du discriminant seul.

Answer

Déterminer le nombre de solutions réelles selon son signe

Question 8

8. Comment la factorisation réelle d’un trinôme varie-t-elle entre un discriminant nul et un discriminant strictement positif ?

Avec un discriminant nul, il s’écrit comme un carré de facteur ; avec un discriminant positif, comme le produit de deux facteurs associés aux racines.

Avec un discriminant nul, il n’a pas de factorisation réelle ; avec un discriminant positif, il s’écrit comme un carré de facteur.

Avec un discriminant nul, il est le produit de deux facteurs distincts ; avec un discriminant positif, il s’écrit comme un carré de facteur.

Avec un discriminant nul, il s’écrit comme un carré de facteur ; avec un discriminant positif, il n’a pas de factorisation réelle.

Explication

Lorsque le discriminant est nul, le trinôme possède une racine double et se factorise sous la forme d’un carré ; lorsqu’il est positif, il possède deux racines et deux facteurs correspondants. L’absence de factorisation réelle concerne un discriminant négatif, et non un discriminant nul.

Answer

Avec un discriminant nul, il s’écrit comme un carré de facteur ; avec un discriminant positif, comme le produit de deux facteurs associés aux racines.

Question 9

9. Quel effet le signe de $a$ produit-il sur le signe d’un trinôme ayant deux racines réelles distinctes, entre ces racines ?

Le trinôme y est nul sur tout l’intervalle.

Le trinôme y change de signe à chaque point de l’intervalle.

Le trinôme y conserve le signe de

a

.

Le trinôme y prend le signe opposé à celui de

a

.

Explication

Entre ses deux racines distinctes, le trinôme prend le signe de $-a$ , tandis qu’à l’extérieur il prend celui de $a$ . Le signe de $a$ décrit donc les intervalles extérieurs, et non l’intervalle entre les racines.

Answer

Le trinôme y prend le signe opposé à celui de $$a$$.

Question 10

10. Pour vérifier par le calcul si un réel donné est une racine de $f(x)=ax^2+bx+c$ , que faut-il faire ?

Comparer ce réel au coefficient

a

et vérifier qu’ils sont opposés

Remplacer

x

par ce réel et vérifier que la valeur obtenue est nulle

Calculer la somme des coefficients et vérifier qu’elle vaut zéro

Repérer la valeur de la fonction à l’endroit où sa courbe atteint son sommet

Explication

Un réel est une racine si son image par la fonction vaut zéro ; on le substitue donc à $x$ dans l’expression de $f$ . Repérer le sommet ne vérifie pas en soi qu’un réel donné annule la fonction.

Answer

Remplacer $$x$$ par ce réel et vérifier que la valeur obtenue est nulle

Question 11

11. Pour les racines $x_1$ et $x_2$ d’un trinôme du second degré, quelle propriété relie leur produit au terme constant et au coefficient dominant ?

Leur produit est égal au quotient du terme constant par le coefficient dominant.

Leur produit est égal à l’opposé du quotient du terme constant par le coefficient dominant.

Leur produit est égal au quotient du coefficient dominant par le terme constant.

Leur produit est égal à l’opposé du quotient du coefficient dominant par le terme constant.

Explication

Le produit des racines est $x_1x_2=\frac{c}{a}$ , où $c$ est le terme constant et $a$ le coefficient dominant. L’opposé de ce quotient intervient dans d’autres relations possibles, mais pas dans celle du produit.

Answer

Leur produit est égal au quotient du terme constant par le coefficient dominant.

QCM : Fonctions polynômes du second degré (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition distingue la forme développée d’un polynôme du second degré d’une expression polynomiale de degré inférieur ?

2. Sur la représentation graphique d’une fonction, que désignent les racines ?

3. Un trinôme de coefficient dominant $a$ possède deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$ ; quelle factorisation lui correspond ?

4. Un trinôme $ax^2+bx+c$ a pour racines $x_1$ et $x_2$ ; quelles relations permettent de retrouver leur somme et leur produit à partir des coefficients ?

5. Que désigne le discriminant d’un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

6. Pour une parabole dont le sommet est $S(\alpha;\beta)$ et dont le coefficient $a$ est négatif, quelle propriété caractérise la valeur de la fonction au sommet ?

7. Quel est le rôle du discriminant dans la résolution de l’équation $ax^2+bx+c=0$ ?

8. Comment la factorisation réelle d’un trinôme varie-t-elle entre un discriminant nul et un discriminant strictement positif ?

9. Quel effet le signe de $a$ produit-il sur le signe d’un trinôme ayant deux racines réelles distinctes, entre ces racines ?

10. Pour vérifier par le calcul si un réel donné est une racine de $f(x)=ax^2+bx+c$ , que faut-il faire ?

11. Pour les racines $x_1$ et $x_2$ d’un trinôme du second degré, quelle propriété relie leur produit au terme constant et au coefficient dominant ?

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QCM : Fonctions polynômes du second degré (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition distingue la forme développée d’un polynôme du second degré d’une expression polynomiale de degré inférieur ?

2. Sur la représentation graphique d’une fonction, que désignent les racines ?

3. Un trinôme de coefficient dominant aaa possède deux racines distinctes x1x_1x1​ et x2x_2x2​ ; quelle factorisation lui correspond ?

4. Un trinôme ax2+bx+cax^2+bx+cax2+bx+c a pour racines x1x_1x1​ et x2x_2x2​ ; quelles relations permettent de retrouver leur somme et leur produit à partir des coefficients ?

5. Que désigne le discriminant d’un trinôme f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c ?

6. Pour une parabole dont le sommet est S(α;β)S(\alpha;\beta)S(α;β) et dont le coefficient aaa est négatif, quelle propriété caractérise la valeur de la fonction au sommet ?

7. Quel est le rôle du discriminant dans la résolution de l’équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 ?

8. Comment la factorisation réelle d’un trinôme varie-t-elle entre un discriminant nul et un discriminant strictement positif ?

9. Quel effet le signe de aaa produit-il sur le signe d’un trinôme ayant deux racines réelles distinctes, entre ces racines ?

10. Pour vérifier par le calcul si un réel donné est une racine de f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c, que faut-il faire ?

11. Pour les racines x1x_1x1​ et x2x_2x2​ d’un trinôme du second degré, quelle propriété relie leur produit au terme constant et au coefficient dominant ?

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3. Un trinôme de coefficient dominant $a$ possède deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$ ; quelle factorisation lui correspond ?

4. Un trinôme $ax^2+bx+c$ a pour racines $x_1$ et $x_2$ ; quelles relations permettent de retrouver leur somme et leur produit à partir des coefficients ?

5. Que désigne le discriminant d’un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

6. Pour une parabole dont le sommet est $S(\alpha;\beta)$ et dont le coefficient $a$ est négatif, quelle propriété caractérise la valeur de la fonction au sommet ?

7. Quel est le rôle du discriminant dans la résolution de l’équation $ax^2+bx+c=0$ ?

9. Quel effet le signe de $a$ produit-il sur le signe d’un trinôme ayant deux racines réelles distinctes, entre ces racines ?

10. Pour vérifier par le calcul si un réel donné est une racine de $f(x)=ax^2+bx+c$ , que faut-il faire ?

11. Pour les racines $x_1$ et $x_2$ d’un trinôme du second degré, quelle propriété relie leur produit au terme constant et au coefficient dominant ?