Fiche de révision : Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et racines du trinôme
2. Factorisation et relations entre racines
3. Forme canonique et discriminant
4. Variations et sommet de la parabole
5. Résolution des équations du second degré
6. Factorisation selon le discriminant
7. Signe du trinôme et inéquations

📖 1. Définition et racines du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Définie sur ℝ par f(x)=ax²+bx+c, où a, b et c sont réels et a≠0 ; ax²+bx+c est sa forme développée.
• Racine : Un réel α tel que f(α)=0, c’est-à-dire une solution de l’équation f(x)=0.

★ À maîtriser

• Graphiquement, les racines d’une fonction sont les abscisses des points où sa courbe représentative coupe l’axe des abscisses.

Compléments

• Pour f(x)=2x²+4x−6, f(1)=0, donc 1 est une racine et une solution de l’équation 2x²+4x−6=0.

💡 Astuce mémo

Racine algébrique : f(α)=0 ; racine graphique : abscisse d’une intersection avec l’axe.

📖 2. Factorisation et relations entre racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine double : L’unique racine d’une fonction polynôme du second degré qui n’en possède qu’une.

📝 Points essentiels

📌 Si un trinôme f(x)=ax²+bx+c, avec a≠0, possède deux racines distinctes x₁ et x₂, alors f(x)=a(x−x₁)(x−x₂).

📐 Formule - Pour les racines x₁ et x₂ d’un trinôme ax²+bx+c, leur somme et leur produit vérifient $x₁+x₂=-\frac{b}{a}$ et $x₁x₂=\frac{c}{a}$.

📖 3. Forme canonique et discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : L’écriture f(x)=a(x−α)²+β, où a≠0 et α et β sont réels.
• Discriminant : Le réel Δ défini par Δ=b²−4ac.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour f(x)=ax²+bx+c, la forme canonique s’écrit $f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a}$ avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=-\frac{\Delta}{4a}$.

Compléments

• Le trinôme 3x²−12x+7 a pour forme canonique 3(x−2)²−5.

📖 4. Variations et sommet de la parabole

★ À maîtriser

📌 Pour f(x)=a(x−α)²+β, si a>0, f admet un minimum égal à β en x=α.

📌 Pour f(x)=a(x−α)²+β, si a<0, f admet un maximum égal à β en x=α.

• La courbe d’un trinôme du second degré est une parabole dont le sommet a pour coordonnées S(α;β), où α=−b/(2a) et β=f(α).

Compléments

• L’axe de symétrie de la parabole est la droite d’équation x=α, parallèle à l’axe des ordonnées et passant par son sommet.

💡 Astuce mémo

a>0 : minimum ; a<0 : maximum.

📖 5. Résolution des équations du second degré

★ À maîtriser

📌 Pour ax²+bx+c=0, si Δ<0, l’équation n’a aucune solution réelle.

📌 Pour ax²+bx+c=0, si Δ=0, l’équation a une solution double x₀=−b/(2a).

📐 Formule - Si Δ>0, les solutions de ax²+bx+c=0 sont $x₁=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x₂=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Compléments

📌 Une équation du second degré qui se factorise facilement ou possède une racine évidente peut être résolue sans utiliser les formules du discriminant.

💡 Astuce mémo

Δ<0 : aucune racine ; Δ=0 : une racine ; Δ>0 : deux racines.

📖 6. Factorisation selon le discriminant

★ À maîtriser

📌 Pour un trinôme de discriminant négatif, il n’existe pas de forme factorisée dans ℝ.

📐 Formule - Si Δ=0 et x₀=−b/(2a), alors $f(x)=a(x-x₀)^2$.

📐 Formule - Si Δ>0 et si x₁ et x₂ sont les racines du trinôme, alors $f(x)=a(x-x₁)(x-x₂)$.

Compléments

• Le trinôme 9x²−6x+1 se factorise en (3x−1)².

💡 Astuce mémo

Δ<0 : pas de factorisation réelle ; Δ=0 : carré ; Δ>0 : deux facteurs.

📖 7. Signe du trinôme et inéquations

★ À maîtriser

• Si Δ<0, le trinôme est partout du signe de a et ne s’annule pas.

• Si Δ=0, le trinôme est du signe de a de chaque côté de x₀ et s’annule en x₀.

• Si Δ>0 et x₁<x₂, le trinôme est du signe de a à l’extérieur de [x₁,x₂] et du signe de −a entre les deux racines.

Compléments

• Le tableau de signe d’un trinôme permet de résoudre les inéquations ax²+bx+c≤0, ax²+bx+c<0, ax²+bx+c≥0 et ax²+bx+c>0.

💡 Astuce mémo

Avec deux racines : signe de a, puis de −a entre les racines, puis de a.