Fiche de révision : Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Forme développée et allure parabolique
2. Forme canonique et sommet
3. Racines et forme factorisée
4. Somme et produit des racines

📖 1. Forme développée et allure parabolique

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Une fonction polynôme du second degré, ou trinôme, est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a \ne 0$.
• Monôme : Un monôme est une expression de la forme $ax^n$, avec $a \in \mathbb{R}$ et $n \in \mathbb{N}$.
• Polynôme : Un polynôme est une expression composée de plusieurs monômes.

★ À maîtriser

📌 Si $a>0$, la parabole est ouverte vers le haut, tandis que si $a<0$, elle est ouverte vers le bas.

Compléments

• Dans la forme développée $f(x)=ax^2+bx+c$, $a$, $b$ et $c$ sont les coefficients du polynôme.

• La représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré passe par le point $(0;c)$.

💡 Astuce mémo

a > 0 : ouverture vers le haut ; a < 0 : ouverture vers le bas

📖 2. Forme canonique et sommet

★ À maîtriser

📐 Formule - Toute fonction $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\ne0$, s’écrit sous forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, où $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)=-\frac{b^2-4ac}{4a}$.

• La parabole représentative de la forme canonique a pour sommet $S(\alpha;\beta)$ et pour axe de symétrie la droite verticale d’équation $x=\alpha$.

📌 Si $a>0$, la fonction décroît jusqu’à $x=\alpha$ puis croît à partir de ce point ; si $a<0$, elle croît jusqu’à $x=\alpha$ puis décroît.

Compléments

• La complétion du carré permet de passer de la forme développée à la forme canonique en regroupant les termes en $x$, en formant un carré parfait, puis en compensant le terme ajouté ou retranché.

• La fonction $f(x)=5x^2-30x+41$ s’écrit $f(x)=5(x-3)^2-4$ et sa parabole a pour sommet $S(3;-4)$.

📖 3. Racines et forme factorisée

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine : Une racine d’un polynôme $f$ est un nombre $x_0$ tel que $f(x_0)=0$, c’est-à-dire une solution de l’équation $f(x)=0$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si une fonction du second degré a pour racines $x_1$ et $x_2$, elle se factorise sous la forme $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

Compléments

• Pour $f(x)=3x^2-5x+2$, les racines $1$ et $\frac{2}{3}$ donnent la forme factorisée $f(x)=3(x-1)(x-\frac{2}{3})$.

📖 4. Somme et produit des racines

★ À maîtriser

📐 Formule - Si une fonction $f(x)=ax^2+bx+c$ a pour racines $x_1$ et $x_2$, alors $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et $x_1x_2=\frac{c}{a}$.

Compléments

• Pour $f(x)=x^2+x-2$, une racine est $1$ ; la somme des racines donne l’autre racine $-2$, donc $f(x)=(x-1)(x+2)$.