Fiche de révision : Suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Notion et notation des suites
2. Définition explicite et récurrence
3. Construction graphique par récurrence
4. Variations et monotonie
5. Modélisation par une suite

📖 1. Notion et notation des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Liste ordonnée de nombres réels indexée par les entiers naturels, ou fonction définie pour tout entier naturel n ≥ n₀ et à valeurs dans ℝ.
• Terme de rang n : Nombre uₙ associé au rang n ; le premier terme est le plus souvent u₀ ou u₁.

📝 Points essentiels

• Une suite se note u ou (uₙ), avec n ∈ ℕ.

• Archimède utilisait des suites au 3ᵉ siècle avant notre ère pour calculer approximativement des aires et des volumes.

• Nicolas Oresme a défini précisément les notions de suites arithmétiques et géométriques au 14ᵉ siècle.

📖 2. Définition explicite et récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Définition explicite : Une suite est définie explicitement lorsqu’on peut calculer directement n’importe lequel de ses termes en fonction de n.
• Définition par récurrence : Une suite est définie par récurrence par la donnée de son premier terme et d’une relation permettant de calculer un terme à partir d’un ou plusieurs termes précédents.

📝 Points essentiels

• Pour la suite définie par uₙ = n² − 2n + 1, on obtient u₁ = 0, u₂ = 1, u₃ = 4, u₄ = 9 et u₅ = 16.

• Pour la suite définie par u₀ = 2 et uₙ₊₁ = 3uₙ − 1, les termes suivants sont u₁ = 5, u₂ = 14 et u₃ = 41.

• Pour calculer un terme de rang élevé d’une suite définie par récurrence, il faut calculer les termes précédents jusqu’à celui qui le précède.

💡 Astuce mémo

Explicite : le rang donne directement le terme ; récurrence : le terme précédent est nécessaire.

📖 3. Construction graphique par récurrence

★ À maîtriser

• Pour construire graphiquement les termes d’une suite définie par uₙ₊₁ = f(uₙ), on part de u₀ et on utilise successivement la courbe de f et la droite d’équation y = x.

📐 Formule - La relation de récurrence s’écrit $u_{n+1}=f(u_n)$.

Compléments

• Dans l’exemple étudié, la fonction utilisée pour construire les termes est $f(x)=-0{,}5x^2+3x-1{,}5$.

📖 4. Variations et monotonie

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Suite vérifiant uₙ₊₁ ≥ uₙ pour tout entier n ≥ n₀.
• Suite décroissante : Suite vérifiant uₙ₊₁ ≤ uₙ pour tout entier n ≥ n₀.
• Suite constante : Suite vérifiant uₙ = uₙ₀ pour tout entier n ≥ n₀.
• Suite monotone : Suite croissante ou décroissante à partir du rang n₀.

📝 Points essentiels

📌 Si une suite est définie explicitement par une fonction monotone sur ℝ₊, la suite a le même sens de variation que cette fonction.

📌 Si uₙ₊₁ − uₙ < 0 pour tout n, alors la suite u est strictement décroissante.

• Pour la suite définie par u₁ = 3 et uₙ₊₁ = uₙ − 4, on a uₙ₊₁ − uₙ = −4 < 0 ; la suite est donc strictement décroissante.

📌 Si tous les termes d’une suite sont strictement positifs et si $\frac{u_{n+1}}{u_n}>1$ pour tout n, alors la suite est strictement croissante.

💡 Astuce mémo

Monotone signifie croissante ou décroissante ; une suite qui change de sens ne l’est pas.

📖 5. Modélisation par une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Modélisation : Traduction d’une situation réelle par des objets mathématiques afin de résoudre le problème avec les propriétés et théorèmes associés.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un placement de 1000 euros à intérêts composés au taux annuel de 4 %, le modèle est $u_0=1000$ et $u_{n+1}=1{,}04u_n$.

Compléments

• Pour modéliser un placement à intérêts composés, on définit uₙ comme la somme présente sur le compte après n années, on donne le premier terme et on exprime la relation entre deux termes successifs.

• Le modèle du placement à intérêts composés sert à déterminer la somme présente sur le compte au bout de 10 ans.

💡 Astuce mémo

Situation réelle → suite et premier terme → relation de récurrence → calcul demandé.