QCM : Suites numériques (7 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Concernant la notion et la notation d’une suite, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Le terme de rang 4 d’une suite notée u est le nombre u4u_4.
La notation unu_n désigne le terme de rang n de la suite u.
Une suite est une liste ordonnée de nombres réels indexée par les entiers relatifs.
Une suite peut être une fonction définie sur les entiers naturels à valeurs réelles.
Le premier terme d’une suite est le plus souvent noté u0u_0 ou u1u_1.

Le terme de rang 4 d’une suite notée u est le nombre $$u_4$$. · La notation $$u_n$$ désigne le terme de rang n de la suite u. · Une suite peut être une fonction définie sur les entiers naturels à valeurs réelles. · Le premier terme d’une suite est le plus souvent noté $$u_0$$ ou $$u_1$$.

Explication

Une suite associe des valeurs réelles aux indices naturels, et son terme de rang 4 se note u4u_4. On peut noter la suite uu ou ses termes unu_n ; les indices sont naturels, et le premier terme est souvent u0u_0 ou u1u_1.

2. On considère un=n2−2n+1u_n=n^2-2n+1 et une autre suite donnée par son premier terme et une relation entre termes consécutifs. Concernant ces modes de définition, quelles propositions sont exactes ?

La formule de unu_n permet de calculer directement un terme en choisissant son indice n.
Une définition par récurrence donne directement chaque terme en fonction de son seul indice.
Pour la formule donnée, le calcul donne u3=4u_3=4.
Une suite définie par récurrence nécessite un premier terme et une relation utilisant des termes précédents.
Un terme de rang élevé par récurrence se calcule à partir du terme suivant.

La formule de $$u_n$$ permet de calculer directement un terme en choisissant son indice n. · Pour la formule donnée, le calcul donne $$u_3=4$$. · Une suite définie par récurrence nécessite un premier terme et une relation utilisant des termes précédents.

Explication

La définition explicite permet de calculer directement un terme à partir de son indice ; pour l’indice 3, on obtient 32−2×3+1=43^2-2\times3+1=4. Une définition par récurrence associe un premier terme à une relation utilisant des termes précédents, et ne fournit pas directement chaque terme à partir du seul indice. Pour calculer un terme de rang élevé par récurrence, on utilise les termes qui le précèdent, et non le terme suivant.

3. Pour calculer u30u_{30} dans une suite définie par récurrence, quelle(s) proposition(s) est(sont) exacte(s) ?

Il faut calculer les termes précédents jusqu’à celui de rang 29.
La relation de récurrence permet de calculer u30u_{30} sans connaître les termes précédents.
Avec u0=2u_0=2 et un+1=3un−1u_{n+1}=3u_n-1, les premiers termes sont u1=5u_1=5, u2=13u_2=13 et u3=38u_3=38.
Il faut disposer de u30u_{30} pour calculer successivement les termes jusqu’à u29u_{29}.
Avec u0=2u_0=2 et un+1=3un−1u_{n+1}=3u_n-1, on obtient u1=6u_1=6.

Il faut calculer les termes précédents jusqu’à celui de rang 29.

Explication

Pour obtenir le terme de rang 30 par récurrence, il faut calculer les termes précédents jusqu’à u29u_{29}. Dans l’exemple, u1=3×2−1=5u_1=3\times2-1=5, puis u2=3×5−1=14u_2=3\times5-1=14 et u3=3×14−1=41u_3=3\times14-1=41 ; les autres valeurs proposées ne respectent pas ce calcul.

4. Dans l’exemple de construction graphique étudié, quelle fonction permet de calculer le terme suivant à partir du terme courant ?

La fonction de récurrence est f(x)=−0,5x2+3x+1,5f(x)=-0,5x^2+3x+1,5.
La fonction de récurrence est f(x)=−0,5x2+3x−1,5f(x)=-0,5x^2+3x-1,5.
La fonction de récurrence est f(x)=−0,5x2+3x−0,5f(x)=-0,5x^2+3x-0,5.
La fonction de récurrence est f(x)=−0,5x2−3x−1,5f(x)=-0,5x^2-3x-1,5.
La fonction de récurrence est f(x)=0,5x2+3x−1,5f(x)=0,5x^2+3x-1,5.

La fonction de récurrence est $$f(x)=-0,5x^2+3x-1,5$$.

Explication

Dans l’exemple, la fonction est f(x)=−0,5x2+3x−1,5f(x)=-0,5x^2+3x-1,5. Les autres expressions modifient respectivement le signe du terme quadratique, le signe du terme linéaire ou la constante.

5. On étudie quatre suites : pour P, un+1−un=−2u_{n+1}-u_n=-2; pour Q, un=g(n)u_n=g(n) avec g monotone sur ℝ₊; pour R, tous les termes sont positifs et un+1un=1,2\frac{u_{n+1}}{u_n}=1,2; pour S, u1=3u_1=3 et un+1=un−4u_{n+1}=u_n-4. Quelles conclusions sont exactes ?

La suite R est strictement croissante, puisque ses termes sont positifs et le rapport dépasse 1.
La suite P est strictement décroissante, car l’écart entre deux termes consécutifs est négatif.
La suite S est strictement décroissante, car la différence entre deux termes consécutifs vaut −4.
La suite Q a un sens de variation opposé à celui de g sur ℝ₊.
La suite Q est strictement croissante lorsque g est croissante sur ℝ₊.

La suite R est strictement croissante, puisque ses termes sont positifs et le rapport dépasse 1. · La suite P est strictement décroissante, car l’écart entre deux termes consécutifs est négatif. · La suite S est strictement décroissante, car la différence entre deux termes consécutifs vaut −4.

Explication

P est strictement décroissante car sa différence vaut −2; la suite S l’est aussi, avec une différence égale à −4. R est strictement croissante puisque ses termes sont positifs et que le rapport vaut 1,2, supérieur à 1. Q a le même sens de variation que g, mais une fonction croissante peut être constante : cela ne garantit pas une croissance stricte de la suite.

6. Concernant la modélisation d’une situation par une suite, cochez la proposition exacte :

Une modélisation permet de résoudre un problème sans mobiliser de propriétés mathématiques.
Pour un placement composé, le terme initial correspond au montant après une année.
Modéliser traduit une situation réelle en objets mathématiques pour résoudre le problème.
Pour un placement composé, la relation relie le terme général au montant versé chaque mois.
Modéliser consiste à remplacer les objets mathématiques par une description réelle du problème.

Modéliser traduit une situation réelle en objets mathématiques pour résoudre le problème.

Explication

La modélisation traduit une situation réelle en objets mathématiques, auxquels on peut ensuite appliquer des propriétés et des théorèmes. Pour un placement composé, on définit le terme initial et la relation entre termes successifs ; le terme initial n’est pas le montant après une année, et le modèle ne repose pas sur des versements mensuels.

7. Un capital de 1 000 euros est placé à intérêts composés au taux annuel de 4 %. Parmi les propositions suivantes concernant son modèle et son objectif, lesquelles sont exactes ?

Le modèle prend pour terme initial u0=1000u_0=1000 euros.
Après une année, le modèle donne u1=1040u_1=1040 euros.
Le modèle utilise la relation de récurrence un+1=1,04+unu_{n+1}=1,04+u_n.
La suite permet de déterminer le montant présent sur le compte après dix ans.
Le coefficient multiplicateur annuel du modèle est 0,960,96.

Le modèle prend pour terme initial $$u_0=1000$$ euros. · Après une année, le modèle donne $$u_1=1040$$ euros. · La suite permet de déterminer le montant présent sur le compte après dix ans.

Explication

Le capital initial est représenté par u0=1000u_0=1000 et la récurrence correcte est un+1=1,04unu_{n+1}=1,04u_n, d’où u1=1,04×1000=1040u_1=1,04\times1000=1040 euros. Le modèle sert aussi à déterminer le montant après dix ans ; le taux de 4 % correspond au coefficient multiplicateur 1,04, et non à une addition de 1,04 ni au coefficient 0,96.

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Comment définit-on une suite numérique comme fonction ?

Une fonction définie pour tout entier naturel n≥n0n\geq n_0 et à valeurs dans R\mathbb{R}.

Quelle forme peut prendre une suite numérique, en plus d’une fonction ?

Une liste ordonnée de nombres réels indexée par les entiers naturels.

Quel nombre représente le terme de rang nn d’une suite uu ?

unu_n.

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