Fiche de révision : Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Formes du trinôme
2. Forme canonique et parabole
3. Discriminant et solutions
4. Somme et produit des racines
5. Factorisation du trinôme
6. Signe du trinôme

📖 1. Formes du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : définie sur ℝ par $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont réels et $a\ne0$.
• Forme factorisée : La forme $f(x)=a(x-u)(x-v)$, où a, u et v sont réels, est appelée forme factorisée d’une fonction polynôme du second degré.
• Forme développée : L’expression $ax^2+bx+c$ d’une fonction polynôme du second degré est sa forme développée, et a, b et c en sont les coefficients.

📝 Points essentiels

• Toutes les fonctions polynômes du second degré n’admettent pas nécessairement une forme factorisée.

• Pour une fonction écrite sous forme développée, $f(0)=c$.

💡 Astuce mémo

La forme développée expose les coefficients ; la forme factorisée expose les racines.

📖 2. Forme canonique et parabole

★ À maîtriser

📐 Formule - La forme canonique d’un trinôme est $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)=\frac{4ac-b^2}{4a}$.

• Le sommet de la parabole associée à $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ a pour coordonnées $(\alpha;\beta)=(\alpha;f(\alpha))$.

• Si $a>0$, la fonction est d’abord décroissante puis croissante et admet un minimum égal à β, atteint en $x=\alpha$.

Compléments

• Dans un repère, la courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré est une parabole.

• Pour mettre un trinôme sous forme canonique, on factorise par a, on complète le carré à l’aide d’une identité remarquable, puis on distribue a.

📖 3. Discriminant et solutions

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ est le nombre $\Delta=b^2-4ac$.
• Racine d’une fonction : Les solutions de $f(x)=0$ sont appelées les racines de la fonction polynôme f.

★ À maîtriser

• Pour $ax^2+bx+c=0$ avec $a\ne0$, si $\Delta>0$, l’équation a deux solutions réelles $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

• Pour $ax^2+bx+c=0$ avec $a\ne0$, si $\Delta=0$, l’équation a une unique solution réelle, $x_0=-\frac{b}{2a}$.

• Pour $ax^2+bx+c=0$ avec $a\ne0$, si $\Delta<0$, l’équation n’a aucune solution réelle.

Compléments

• Les solutions de $f(x)=0$ sont les abscisses des points d’intersection de la parabole représentant f avec l’axe des abscisses.

📖 4. Somme et produit des racines

★ À maîtriser

📐 Formule - Lorsque le trinôme a deux racines $x_1$ et $x_2$, leur somme et leur produit vérifient $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et $x_1x_2=\frac{c}{a}$.

Compléments

• Lorsque $\Delta=0$, l’unique racine $x_0$ est appelée racine double.

📐 Formule - Pour deux racines réelles $x_1$ et $x_2$, le trinôme peut s’écrire $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

📖 5. Factorisation du trinôme

★ À maîtriser

📌 Si $\Delta>0$, le trinôme se factorise en $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, où $x_1$ et $x_2$ sont ses deux racines réelles.

📌 Si $\Delta=0$, le trinôme se factorise en $f(x)=a(x-x_0)^2$, où $x_0$ est sa racine double.

Compléments

📌 Si $\Delta<0$, le trinôme n’a pas de racine réelle et ne peut pas s’écrire comme produit de deux polynômes du premier degré.

• Pour résoudre une équation produit nul, on annule successivement chacun des facteurs et on réunit les solutions obtenues.

📖 6. Signe du trinôme

★ À maîtriser

• Si $\Delta>0$ et que les racines sont $x_1<x_2$, le trinôme est du signe de a à l’extérieur de l’intervalle entre les racines et du signe opposé entre elles.

• Si $\Delta=0$, le trinôme est du signe de a sur ℝ et s’annule en sa racine double.

• Si $\Delta<0$, le trinôme est partout du signe de a et ne s’annule pas sur ℝ.

Compléments

• Résoudre une inéquation du second degré revient à repérer les intervalles où le trinôme respecte le signe demandé, en s’appuyant sur ses racines et sur le signe de a.

💡 Astuce mémo

Le signe de a fixe l’orientation de la parabole, qui détermine le signe du trinôme.