QCM : Fonctions polynômes du second degré (15 questions)

Question 1

1. Quelle expression définit une fonction polynôme du second degré sur ℝ ?

f(x)=ax^3+bx^2+c

avec

a,b,c\in\mathbb{R}

et

a\ne0

f(x)=ax^2+bx+c

avec

a,b,c\in\mathbb{R}

et

a=0

f(x)=ax^2+bx+c

avec

a,b,c\in\mathbb{R}

et

a\ne0

f(x)=ax+b

avec

a,b\in\mathbb{R}

et

a\ne0

Explication

Une fonction polynôme du second degré s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ , où les coefficients sont réels et le coefficient de $x^2$ est non nul. L’expression affine omet le terme quadratique, $a=0$ annule le degré 2 et le terme en $x^3$ donne un degré supérieur.

Answer

$$f(x)=ax^2+bx+c$$ avec $$a,b,c\in\mathbb{R}$$ et $$a\ne0$$

Question 2

2. Laquelle de ces écritures est la forme factorisée d’un trinôme du second degré ?

f(x)=ax^2+bx+c

, avec

a,b,c\in\mathbb{R}

f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta

, avec

a,\alpha,\beta\in\mathbb{R}

f(x)=a(x-u)(x-v)

, avec

a,u,v\in\mathbb{R}

f(x)=a(x-u)+v

, avec

a,u,v\in\mathbb{R}

Explication

La forme factorisée est le produit d’un coefficient réel par deux facteurs du premier degré, $a(x-u)(x-v)$ . $ax^2+bx+c$ est la forme développée, $a(x-\alpha)^2+\beta$ est la forme canonique, et l’expression à un seul facteur est affine.

Answer

$$f(x)=a(x-u)(x-v)$$, avec $$a,u,v\in\mathbb{R}$$

Question 3

3. Pour $f(x)=2x^2-8x+3$ , quelle est sa forme canonique ?

2(x-2)^2-5

2(x-2)^2+3

2(x-4)^2-29

2(x+2)^2-5

Explication

Ici, $\alpha=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{4}=2$ et $\beta=f(2)=8-16+3=-5$ , donc $f(x)=2(x-2)^2-5$ . Le centre en $4$ vient d’une division incorrecte, le signe positif inverse l’abscisse, et $3$ est le terme constant plutôt que $f(2)$ .

Answer

$$2(x-2)^2-5$$

Question 4

4. Une parabole est associée à la fonction $g(x)=-3(x+1)^2+4$ . Quelles sont les coordonnées de son sommet ?

(1;4)

(-1;-3)

(4;-1)

(-1;4)

Explication

Dans la forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ , le sommet a pour coordonnées $(\alpha;\beta)$ . Ici, $x+1=x-(-1)$ , donc le sommet est $(-1;4)$ ; $1$ inverse le signe, $-3$ est le coefficient directeur du carré, et $(4;-1)$ échange les coordonnées.

Answer

$$(-1;4)$$

Question 5

5. Une fonction a pour forme canonique $h(x)=5(x-3)^2-7$ . Quel comportement et quel extremum lui correspondent ?

Elle décroît puis croît, avec un minimum de

5

atteint en

x=3

.

Elle décroît puis croît, avec un minimum de

-7

atteint en

x=-3

.

Elle décroît puis croît, avec un minimum de

-7

atteint en

x=3

.

Elle croît puis décroît, avec un maximum de

-7

atteint en

x=3

.

Explication

Comme $a=5>0$ , la fonction décroît puis croît et son minimum est $\beta=-7$ , atteint à l’abscisse $\alpha=3$ . La croissance puis décroissance correspond à un coefficient négatif, $5$ est le coefficient du carré et non l’extremum, et l’abscisse du sommet n’est pas opposée.

Answer

Elle décroît puis croît, avec un minimum de $$-7$$ atteint en $$x=3$$.

Question 6

6. Pour le trinôme $5x^2-2x+3$ , quelle expression donne le discriminant ?

(-2)^2-4\times5\times3

-2-4\times5\times3

(-2)^2-4\times5

(-2)^2+4\times5\times3

Explication

Le discriminant d’un trinôme $ax^2+bx+c$ est $b^2-4ac$ ; ici, $a=5$ , $b=-2$ et $c=3$ . L’expression sans carré oublie $b^2$ , celle avec un plus change le signe de la formule et celle sans $c$ omet un coefficient.

Answer

$$(-2)^2-4\times5\times3$$

Question 7

7. Une équation du second degré a $a=3$ , $b=-12$ et un discriminant nul. Quelle est son unique solution réelle ?

4

-2

2

-4

Explication

Lorsque $\Delta=0$ , l’unique solution est $x_0=-\frac{b}{2a}$ . Avec $a=3$ et $b=-12$ , on obtient $x_0=\frac{12}{6}=2$ ; $-2$ inverse le signe, tandis que $4$ et $-4$ omettent le facteur $2$ au dénominateur.

Answer

Aucune solution réelle

Answer

Une racine double

Answer

$$2(x+1)(x-3)$$

Answer

$$-3(x-2)^2$$

Answer

Sur $$]-2,4[$$

Answer

Positif ou nul, avec annulation en $$5$$

Answer

Il est négatif partout et ne s’annule pas

Question 8

8. Pour une équation du second degré dont le discriminant vaut $-7$ , combien existe-t-il de solutions réelles ?

Aucune solution réelle

Une solution réelle double

Deux solutions réelles distinctes

Une solution réelle et une solution complexe

Explication

Un discriminant négatif signifie que l’équation n’a aucune solution réelle. Une racine double correspond à un discriminant nul, et deux solutions réelles distinctes à un discriminant positif.

Question 9

9. Un trinôme de coefficient principal $a=2$ a deux racines dont la somme vaut $5$ . Quelle est la valeur de son coefficient $b$ ?

10

-10

\frac{2}{5}

-\frac{5}{2}

Explication

La somme des racines vérifie $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ . Ainsi, $5=-\frac{b}{2}$ et $b=-10$ ; $10$ oublie le signe négatif, tandis que les autres valeurs résultent d’une inversion du quotient ou de l’usage de la relation du produit.

Question 10

10. Comment appelle-t-on l’unique racine d’un trinôme lorsque son discriminant est nul ?

Une racine double

Deux racines distinctes

Une racine simple

Un sommet double

Explication

Lorsque le discriminant est nul, l’équation possède une unique racine réelle, appelée racine double. « Racine simple » ne désigne pas cette situation, « sommet » concerne la parabole, et deux racines distinctes correspondent à un discriminant positif.

Question 11

11. Un trinôme de coefficient dominant $a=2$ a pour discriminant $\Delta=9$ et pour racines $x_1=-1$ et $x_2=3$ . Quelle est sa factorisation ?

2(x+1)

(x+1)(x-3)

2(x-1)(x+3)

2(x+1)(x-3)

Explication

Avec $\Delta>0$ , le trinôme se factorise en $a(x-x_1)(x-x_2)$ ; ici cela donne $2(x+1)(x-3)$ . L’expression sans facteur 2 oublie $a$ , tandis que les autres choix modifient les racines ou en omettent une.

Question 12

12. Un trinôme de coefficient dominant $a=-3$ possède une racine double $x_0=2$ . Quelle écriture factorisée lui correspond ?

-3(x-2)^2

-3(x-2)(x+2)

-3(x+2)^2

(x-2)^2

Explication

Quand $\Delta=0$ , la factorisation est $a(x-x_0)^2$ ; en remplaçant $a$ et $x_0$ , on obtient $-3(x-2)^2$ . Le facteur 2 manque dans le choix sans coefficient, et les autres choix ne représentent pas la racine double 2.

Question 13

13. Un trinôme a deux racines $-2<4$ et un coefficient dominant négatif. Sur quels intervalles est-il positif ?

Sur

]-2,4[

Sur

]-\infty,-2] \cup [4,+\infty[

Sur

]-\infty,4[\,\cup\,]-2,+\infty[

Sur

]-\infty,-2[\,\cup\,]4,+\infty[

Explication

Entre deux racines distinctes, le trinôme est du signe opposé à celui de $a$ ; comme $a<0$ , il est positif sur $]-2,4[$ . Le signe de $a$ s’applique à l’extérieur, et les racines elles-mêmes annulent le trinôme.

Question 14

14. Un trinôme a pour discriminant $\Delta=0$ , une racine double $x_0=5$ et un coefficient dominant positif. Quel est son signe sur $\mathbb{R}$ ?

Négatif ou nul, avec annulation en

5

Positif sur

]-\infty,5[

, négatif sur

]5,+\infty[

Positif ou nul, avec annulation en

5

Strictement positif sur

\mathbb{R}

Explication

Pour $\Delta=0$ , le trinôme est du signe de $a$ sur $\mathbb{R}$ et s’annule à sa racine double ; puisque $a>0$ , il est positif ou nul et s’annule en 5. Un changement de signe à cette racine ou une stricte positivité méconnaît l’annulation.

Question 15

15. Un trinôme a un discriminant négatif et un coefficient dominant strictement négatif. Quelle conclusion décrit son signe sur $\mathbb{R}$ ?

Il est positif partout et ne s’annule pas

Il est négatif sauf en un point où il s’annule

Il est négatif partout et ne s’annule pas

Il change de signe entre deux racines réelles

Explication

Lorsque $\Delta<0$ , le trinôme ne s’annule pas sur $\mathbb{R}$ et garde le signe de $a$ ; ici ce signe est négatif. Le signe positif inverse celui de $a$ , tandis qu’une annulation ou un changement de signe exigerait une racine réelle.

QCM : Fonctions polynômes du second degré (15 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle expression définit une fonction polynôme du second degré sur ℝ ?

2. Laquelle de ces écritures est la forme factorisée d’un trinôme du second degré ?

3. Pour $f(x)=2x^2-8x+3$ , quelle est sa forme canonique ?

4. Une parabole est associée à la fonction $g(x)=-3(x+1)^2+4$ . Quelles sont les coordonnées de son sommet ?

5. Une fonction a pour forme canonique $h(x)=5(x-3)^2-7$ . Quel comportement et quel extremum lui correspondent ?

6. Pour le trinôme $5x^2-2x+3$ , quelle expression donne le discriminant ?

7. Une équation du second degré a $a=3$ , $b=-12$ et un discriminant nul. Quelle est son unique solution réelle ?

8. Pour une équation du second degré dont le discriminant vaut $-7$ , combien existe-t-il de solutions réelles ?

9. Un trinôme de coefficient principal $a=2$ a deux racines dont la somme vaut $5$ . Quelle est la valeur de son coefficient $b$ ?

10. Comment appelle-t-on l’unique racine d’un trinôme lorsque son discriminant est nul ?

11. Un trinôme de coefficient dominant $a=2$ a pour discriminant $\Delta=9$ et pour racines $x_1=-1$ et $x_2=3$ . Quelle est sa factorisation ?

12. Un trinôme de coefficient dominant $a=-3$ possède une racine double $x_0=2$ . Quelle écriture factorisée lui correspond ?

13. Un trinôme a deux racines $-2<4$ et un coefficient dominant négatif. Sur quels intervalles est-il positif ?

14. Un trinôme a pour discriminant $\Delta=0$ , une racine double $x_0=5$ et un coefficient dominant positif. Quel est son signe sur $\mathbb{R}$ ?

15. Un trinôme a un discriminant négatif et un coefficient dominant strictement négatif. Quelle conclusion décrit son signe sur $\mathbb{R}$ ?

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QCM : Fonctions polynômes du second degré (15 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle expression définit une fonction polynôme du second degré sur ℝ ?

2. Laquelle de ces écritures est la forme factorisée d’un trinôme du second degré ?

3. Pour f(x)=2x2−8x+3f(x)=2x^2-8x+3f(x)=2x2−8x+3, quelle est sa forme canonique ?

4. Une parabole est associée à la fonction g(x)=−3(x+1)2+4g(x)=-3(x+1)^2+4g(x)=−3(x+1)2+4. Quelles sont les coordonnées de son sommet ?

5. Une fonction a pour forme canonique h(x)=5(x−3)2−7h(x)=5(x-3)^2-7h(x)=5(x−3)2−7. Quel comportement et quel extremum lui correspondent ?

6. Pour le trinôme 5x2−2x+35x^2-2x+35x2−2x+3, quelle expression donne le discriminant ?

7. Une équation du second degré a a=3a=3a=3, b=−12b=-12b=−12 et un discriminant nul. Quelle est son unique solution réelle ?

8. Pour une équation du second degré dont le discriminant vaut −7-7−7, combien existe-t-il de solutions réelles ?

9. Un trinôme de coefficient principal a=2a=2a=2 a deux racines dont la somme vaut 555. Quelle est la valeur de son coefficient bbb ?

10. Comment appelle-t-on l’unique racine d’un trinôme lorsque son discriminant est nul ?

11. Un trinôme de coefficient dominant a=2a=2a=2 a pour discriminant Δ=9\Delta=9Δ=9 et pour racines x1=−1x_1=-1x1​=−1 et x2=3x_2=3x2​=3. Quelle est sa factorisation ?

12. Un trinôme de coefficient dominant a=−3a=-3a=−3 possède une racine double x0=2x_0=2x0​=2. Quelle écriture factorisée lui correspond ?

13. Un trinôme a deux racines −2<4-2<4−2<4 et un coefficient dominant négatif. Sur quels intervalles est-il positif ?

14. Un trinôme a pour discriminant Δ=0\Delta=0Δ=0, une racine double x0=5x_0=5x0​=5 et un coefficient dominant positif. Quel est son signe sur R\mathbb{R}R ?

15. Un trinôme a un discriminant négatif et un coefficient dominant strictement négatif. Quelle conclusion décrit son signe sur R\mathbb{R}R ?

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3. Pour $f(x)=2x^2-8x+3$ , quelle est sa forme canonique ?

4. Une parabole est associée à la fonction $g(x)=-3(x+1)^2+4$ . Quelles sont les coordonnées de son sommet ?

5. Une fonction a pour forme canonique $h(x)=5(x-3)^2-7$ . Quel comportement et quel extremum lui correspondent ?

6. Pour le trinôme $5x^2-2x+3$ , quelle expression donne le discriminant ?

7. Une équation du second degré a $a=3$ , $b=-12$ et un discriminant nul. Quelle est son unique solution réelle ?

8. Pour une équation du second degré dont le discriminant vaut $-7$ , combien existe-t-il de solutions réelles ?

9. Un trinôme de coefficient principal $a=2$ a deux racines dont la somme vaut $5$ . Quelle est la valeur de son coefficient $b$ ?

11. Un trinôme de coefficient dominant $a=2$ a pour discriminant $\Delta=9$ et pour racines $x_1=-1$ et $x_2=3$ . Quelle est sa factorisation ?

12. Un trinôme de coefficient dominant $a=-3$ possède une racine double $x_0=2$ . Quelle écriture factorisée lui correspond ?

13. Un trinôme a deux racines $-2<4$ et un coefficient dominant négatif. Sur quels intervalles est-il positif ?

14. Un trinôme a pour discriminant $\Delta=0$ , une racine double $x_0=5$ et un coefficient dominant positif. Quel est son signe sur $\mathbb{R}$ ?

15. Un trinôme a un discriminant négatif et un coefficient dominant strictement négatif. Quelle conclusion décrit son signe sur $\mathbb{R}$ ?