Fiche de révision : Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Racines et équations associées
2. Recherche et existence des racines
3. Formes et représentation graphique
4. Définition des polynômes quadratiques

📖 1. Racines et équations associées

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine d’un polynôme du second degré : Nombre réel x₀ tel que $f(x₀)=0${}.

📝 Points essentiels

📌 Une racine de f est exactement une solution de l’équation $f(x)=0$.

• Pour $f(x)=2x^2+x-3$, le calcul donne $f(1)=2\times1^2+1-3=0$, donc 1 est une racine de f.

💡 Astuce mémo

Racine : f(x₀)=0 ; non-racine : f(x₀)≠0

📖 2. Recherche et existence des racines

★ À maîtriser

📌 Tous les polynômes du second degré n’admettent pas nécessairement de racines réelles.

• Pour $f(x)=(x+1)^2+9$, résoudre $f(x)=0$ conduit à $(x+1)^2=-9$, ce qui est impossible car un carré est toujours positif ou nul.

Compléments

• Pour rechercher une racine évidente, on essaie des valeurs simples comme −2, −1, 0, 1 et 2, puis on vérifie si l’image obtenue est nulle.

💡 Astuce mémo

Carré toujours positif ou nul → égalité à −9 impossible

📖 3. Formes et représentation graphique

★ À maîtriser

📐 Formule — La forme réduite d’un polynôme du second degré est $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\in\mathbb{R}^*$, $b\in\mathbb{R}$ et $c\in\mathbb{R}$.

📐 Formule — La forme canonique d’un polynôme du second degré est $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, et le sommet de la parabole est $S(\alpha;\beta)$ avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$.

Compléments

📌 La forme factorisée d’un polynôme du second degré n’existe dans le cours que lorsque le polynôme admet des racines.

• Le polynôme $f(x)=x^2+2x+10$ s’écrit sous forme canonique $f(x)=(x+1)^2+9$.

📖 4. Définition des polynômes quadratiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Fonction définie sur ℝ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ et b,c réels.

★ À maîtriser

• La représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré est une parabole.

Compléments

• Pour $f(x)=3x^2-27x+4$, les coefficients sont $a=3$, $b=-27$ et $c=4$.

• Après développement, $h(x)=(x+1)^3-(x-1)^3$ devient $h(x)=6x^2+2$, qui est un polynôme du second degré.

💡 Astuce mémo

Les coefficients a, b et c dessinent une parabole

📊 Tableaux de synthèse

Formes d’un polynôme du second degré