Fiche de révision : Fonctions, proportions et probabilités

📋 Plan du Cours

1. Notions fondamentales sur les fonctions
2. Proportions et pourcentages
3. Résolutions graphiques
4. Signe et variations graphiques
5. Rappels de probabilités
6. Probabilités conditionnelles
7. Arbres de probabilité

📖 1. Notions fondamentales sur les fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Associe à chaque nombre réel x de I un unique nombre réel y, appelé image de x par f.
• Ensemble de définition : Ensemble des nombres réels auxquels on a le droit d’appliquer cette fonction et qui possèdent une image.

★ À maîtriser

📌 Dans l’écriture f(a) = b, b est l’image de a par f et a est un antécédent de b par f.

📌 Un point M(xM ; yM) appartient à la courbe représentative Cf d’une fonction f si et seulement si f(xM) = yM.

Compléments

• Une fonction peut être définie par:

  • une expression algébrique
  • un tableau de valeurs
  • une représentation graphique

• Pour la fonction f définie sur R par f(x) = x² + x³, on a f(1,5) = 5,625, l’antécédent de 2 est 1 et les antécédents de 0 sont -1 et 0.

💡 Astuce mémo

Une fonction agit comme une boîte qui transforme chaque x autorisé en une unique image y.

📖 2. Proportions et pourcentages

🔑 Notions clés & Définitions

• Proportion : Si E contient N éléments et A en contient n, la proportion de A dans E est $p = \frac{n}{N}$, avec $p \in [0 ; 1]$.

★ À maîtriser

• Une proportion peut s’exprimer sous forme décimale, fractionnaire ou en pourcentage ; par exemple, $\frac{8}{32} = \frac{1}{4} = 0{,}25 = 25\%$.

📐 Formule — Si p est la proportion de A dans E, alors l’effectif de A vérifie $\operatorname{Card}(A) = p \times \operatorname{Card}(E)$.

📐 Formule — Si p est la proportion de A dans B et p’ la proportion de B dans E, alors la proportion de A dans E est $p \times p’$.

Compléments

📐 Formule — Si les 133 femmes représentent 35 % des adhérents, l’effectif total est $\operatorname{Card}(E) = \frac{133}{0{,}35} = 380$.

💡 Astuce mémo

Proportion connue → multiplication pour appliquer, division pour retrouver l’effectif total.

📖 3. Résolutions graphiques

📝 Points essentiels

• Pour résoudre graphiquement f(x) = k, on trace la droite horizontale y = k, puis on lit les abscisses des points où elle coupe Cf ; s’il n’y a aucune intersection, l’ensemble des solutions est vide.

📌 Les solutions de f(x) < k sont les abscisses des points de Cf situés en dessous de la droite y = k, tandis que celles de f(x) > k sont les abscisses des points situés au-dessus.

📌 Les solutions de f(x) = 0 sont les abscisses des points d’intersection de Cf avec l’axe des abscisses.

💡 Astuce mémo

Équation = points exactement sur y = k ; inéquation = zones au-dessus ou en dessous.

📖 4. Signe et variations graphiques

★ À maîtriser

📌 Une fonction est strictement positive lorsque sa courbe est au-dessus de l’axe des abscisses et strictement négative lorsqu’elle est en dessous.

• Les zéros d’une fonction sont les abscisses des points où sa courbe traverse l’axe des abscisses et où f(x) = 0.

• Dans un tableau de variations, la première ligne contient les bornes de l’ensemble de définition et les abscisses de changement de variation, tandis que la seconde utilise une flèche montante pour une fonction croissante et descendante pour une fonction décroissante.

Compléments

• Un tableau de signes place les abscisses des zéros sur la première ligne et indique les signes de f(x) dans les intervalles déterminés.

💡 Astuce mémo

Au-dessus de l’axe des abscisses : signe positif ; en dessous : signe négatif.

📖 5. Rappels de probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Équiprobabilité : Lorsque toutes les issues de l’univers Ω ont la même probabilité.

★ À maîtriser

📐 Formule — En situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement A est $P(A) = \frac{\operatorname{card}(A)}{\operatorname{card}(\Omega)}$, soit le nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles.

📐 Formule — Pour deux événements A et B, $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

📌 Si A et B sont incompatibles, alors A ∩ B = ∅, P(A ∩ B) = 0 et P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Compléments

📌 La probabilité de l’événement contraire de A vérifie $P(A) = 1 - P(\overline{A})$.

📖 6. Probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : La probabilité de B sachant A, notée P_A(B), est définie par $P_A(B) = \frac{\operatorname{card}(A \cap B)}{\operatorname{card}(A)}$ lorsque card(A) ≠ 0.

★ À maîtriser

📐 Formule — Si P(A) ≠ 0, alors la probabilité conditionnelle vérifie $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.

Compléments

• Parmi 40 coureurs français, 30 ont 25 ans ou plus ; ainsi la probabilité qu’un coureur ait 25 ans ou plus sachant qu’il est français vaut $P_F(\overline{M}) = \frac{30}{40} = \frac{3}{4} = 0{,}75$.

📌 Pour P(A) ≠ 0, une probabilité conditionnelle vérifie $0 \leq P_A(B) \leq 1$ et $P_A(B) + P_A(\overline{B}) = 1$.

💡 Astuce mémo

Conditionner par A revient à restreindre l’univers à A, puis à mesurer A ∩ B dans cet univers.

📖 7. Arbres de probabilité

📝 Points essentiels

• Le cours introduit l’arbre de probabilité comme une représentation des probabilités conditionnelles et totales.