Fiche de révision : Fractions et calculs fractionnaires

📋 Plan du Cours

1. Écriture et vocabulaire des fractions
2. Fractions décimales et écritures
3. Fraction et quotient
4. Fractions sur une demi-droite
5. Fractions égales
6. Comparer des fractions
7. Addition et soustraction
8. Multiplication de fractions
9. Inverse et division
10. Calculs mêlés

📖 1. Écriture et vocabulaire des fractions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction : Représentation d’un partage en parts égales, dont le numérateur indique le nombre de parts prises et le dénominateur le nombre total de parts.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Une fraction de numérateur 3 et de dénominateur 4 vérifie $\frac{3}{4}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=3\times\frac{1}{4}$.

📌 Une fraction ne représente correctement une partie d’une figure que si la figure est partagée en parts de même aire. — Nicole ORESME, XIVe

💡 Astuce mémo

Numérateur = ce qu’on compte ; dénominateur = le nom des parts

📖 2. Fractions décimales et écritures

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction décimale : Fraction dont le numérateur est un nombre entier et dont le dénominateur est 10, 100, 1 000 ou une autre puissance de 10.

★ À maîtriser

• Pour écrire un nombre décimal sous forme fractionnaire, on place au dénominateur 10, 100 ou 1 000 selon que la partie décimale comporte un, deux ou trois chiffres.

Compléments

• Le nombre 453,51 peut s’écrire 453 unités et 51 centièmes, soit $\frac{45351}{100}$ ou $453+\frac{51}{100}$.

💡 Astuce mémo

Dixièmes → centièmes → millièmes

📖 3. Fraction et quotient

🔑 Notions clés & Définitions

• Quotient : Quotient de la division de a par b, avec b différent de zéro.

★ À maîtriser

📌 Certaines fractions ont une écriture décimale finie, comme $\frac{1}{4}=0{,}25$, tandis que d’autres ont seulement une écriture décimale illimitée, comme $\frac{1}{3}=0{,}333333\ldots$.

Compléments

• Tout nombre décimal peut s’écrire sous forme d’une fraction décimale, par exemple $2{,}8=\frac{28}{10}$.

💡 Astuce mémo

Fraction exacte ≠ écriture décimale toujours finie

📖 4. Fractions sur une demi-droite

★ À maîtriser

• Pour placer une fraction sur une demi-droite graduée, on partage l’unité en autant de parts égales que l’indique le dénominateur, puis on compte autant de parts que l’indique le numérateur depuis l’origine.

Compléments

📐 Formule — Sur une demi-droite graduée, $\frac{3}{5}=3\times\frac{1}{5}$ et $\frac{7}{5}=7\times\frac{1}{5}=1+\frac{2}{5}$.

• Pour placer $\frac{3}{4}$, on partage l’unité en quatre parts égales et on compte trois parts à partir de l’origine.

💡 Astuce mémo

Une unité découpée en parts égales, puis comptées depuis 0

📖 5. Fractions égales

★ À maîtriser

📌 Une fraction ne change pas lorsqu’on multiplie ou qu’on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.

📐 Formule — Les fractions $\frac{3}{4}$, $\frac{6}{8}$ et $\frac{9}{12}$ sont égales.

Compléments

• Pour obtenir une fraction égale à $\frac{4}{3}$, on peut multiplier son numérateur et son dénominateur par 3 et obtenir $\frac{12}{9}$.

💡 Astuce mémo

Même multiplication ou division en haut et en bas → même fraction

📖 6. Comparer des fractions

★ À maîtriser

• Pour comparer deux fractions, on les met au même dénominateur puis on compare leurs numérateurs.

• L’encadrement de $\frac{18}{5}$ par deux entiers consécutifs est $3<\frac{18}{5}<4$.

Compléments

• Comme $\frac{11}{20}$ est supérieur à $\frac{3}{20}$, on a $\frac{11}{20}>\frac{3}{20}$.

💡 Astuce mémo

Même dénominateur → comparer les numérateurs → encadrer

📖 7. Addition et soustraction

★ À maîtriser

📌 Pour additionner ou soustraire deux fractions de même dénominateur, on additionne ou soustrait les numérateurs et on conserve le dénominateur.

📌 Pour additionner ou soustraire deux fractions de dénominateurs différents, il faut d’abord les transformer afin d’obtenir un dénominateur commun.

Compléments

• On obtient $\frac{3}{8}+\frac{3}{4}=\frac{3}{8}+\frac{6}{8}=\frac{9}{8}$.

💡 Astuce mémo

Même dénominateur : calcul direct ; dénominateurs différents : transformation préalable

📖 8. Multiplication de fractions

★ À maîtriser

📐 Formule — Le produit d’une fraction par un nombre vérifie $\frac{a}{b}\times c=\frac{a\times c}{b}$.

📌 Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux sans les mettre au même dénominateur.

Compléments

📌 Il est préférable de simplifier les facteurs avant de multiplier deux fractions lorsque cela est possible.

• Le calcul $\frac{5}{2}\times\frac{3}{4}$ donne $\frac{15}{8}$.

💡 Astuce mémo

Simplifier si possible → multiplier en ligne → réduire

📖 9. Inverse et division

🔑 Notions clés & Définitions

• Inverse d’un nombre : Nombre $\frac{1}{x}$ associé à un nombre non nul x ; l’inverse de $\frac{a}{b}$ est $\frac{b}{a}$ lorsque a et b sont non nuls.

📝 Points essentiels

📌 Deux nombres sont inverses l’un de l’autre si leur produit est égal à 1.

📐 Formule — Diviser un nombre N par un nombre non nul x revient à multiplier N par l’inverse de x : $N\div x=N\times\frac{1}{x}$.

📐 Formule — Pour diviser deux fractions, on multiplie la première par l’inverse de la seconde : $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}$.

💡 Astuce mémo

Diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse

📖 10. Calculs mêlés

★ À maîtriser

• Dans un calcul mêlé de fractions, on effectue d’abord les parenthèses, puis les multiplications et divisions, et enfin les additions et soustractions.

Compléments

• Le calcul $\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\times\frac{4}{5}$ donne $\frac{2}{5}$, car la multiplication est effectuée avant la soustraction.

• Le calcul $\frac{1}{6}\times\left(5-\frac{3}{8}\right)$ donne $\frac{37}{48}$ après calcul de la parenthèse.

💡 Astuce mémo

Parenthèses → multiplications et divisions → additions et soustractions

📊 Tableaux de synthèse

Opérations sur les fractions