Fiche de révision : Cours d’électricité fondamentale

📋 Plan du Cours

1. Repères historiques de l’électricité
2. Charges et circuits électriques
3. Courant, tension et puissance
4. Dipôles et conventions électriques
5. Résistances et générateurs
6. Lois de Kirchhoff et diviseurs
7. Diviseurs de tension et de courant
8. Thévenin et Norton
9. Puissance et énergie en continu
10. ARQS et condensateur
11. Bobine et circuits RL
12. Grandeurs sinusoïdales
13. Impédances et puissance alternative
14. Puissance instantanée et active
15. Puissance complexe et réactive
16. Résonance du circuit RLC série
17. Propriétés des dipôles élémentaires

📅 Repères chronologiques

1. an -600Thalès de Milet rapporte que l’ambre jaune frotté avec un tissu peut déplacer des objets légers
2. 1600William Gilbert emploie pour la première fois le mot électricité
3. 1785Charles de Coulomb énonce les lois des forces électrostatiques entre charges ponctuelles
4. 1799Alessandro Volta réalise la première pile électrique, ouvrant la voie à l’étude des courants continus

📖 1. Repères historiques de l’électricité

📝 Points essentiels

• Le mot électricité provient du grec êlektron, qui signifie ambre.

💡 Astuce mémo

Thalès → Gilbert → Coulomb → Volta → Oersted → Maxwell

📖 2. Charges et circuits électriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Charge élémentaire : La valeur absolue de la charge de l’électron, égale à $e=1{,}602\times10^{-19}\ \mathrm{C}$.
• Dipôle : Un composant qui se connecte à un circuit par deux bornes, lesquelles sont les points de contact avec les fils conducteurs.
• Nœud : Une borne commune à au moins trois dipôles.
• Branche : L’ensemble des dipôles situés entre deux nœuds et elle est parcourue par un courant unique.

📝 Points essentiels

📌 Dans un métal, les électrons de charge négative assurent la conduction, mais les calculs représentent conventionnellement des charges positives se déplaçant en sens inverse.

💡 Astuce mémo

Charge en mouvement → courant → échauffement par effet Joule

📖 3. Courant, tension et puissance

📝 Points essentiels

📐 Formule — L’intensité moyenne du courant est définie par $I=\frac{\Delta Q}{\Delta t}$ et l’intensité instantanée par $I=\frac{dQ}{dt}$.

• L’ampère est l’unité de courant et vérifie $1\ \mathrm{A}=1\ \mathrm{C}/\mathrm{s}$.

📌 Un ampèremètre se branche en série et possède idéalement une résistance interne nulle afin de ne pas modifier le courant mesuré.

📌 Un voltmètre se branche en parallèle et possède idéalement une résistance interne infinie afin de ne faire circuler aucun courant dans l’appareil.

📐 Formule — La puissance électrique d’un dipôle vérifie $P=UI$ et s’exprime en watts, avec $1\ \mathrm{W}=1\ \mathrm{V}\times1\ \mathrm{A}$.

📌 Dans un montage en série, le courant est unique et les tensions s’additionnent.

💡 Astuce mémo

Ampèremètre en série, voltmètre en parallèle

📖 4. Dipôles et conventions électriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Caractéristique d’un dipôle : La courbe représentant le courant I en fonction de la tension U à ses bornes.
• Conducteur ohmique : Transforme l’énergie électrique en chaleur par effet Joule et possède une tension proportionnelle au courant qui le traverse.

📝 Points essentiels

📌 Un dipôle est passif si sa caractéristique passe par l’origine et actif si elle ne passe pas par l’origine.

📌 En convention récepteur, les flèches du courant et de la tension sont de sens opposés, tandis qu’en convention générateur elles sont de même sens.

💡 Astuce mémo

Convention récepteur : puissance reçue ; convention générateur : puissance fournie

📖 5. Résistances et générateurs

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour deux résistances en série, la résistance équivalente vérifie $R_{\mathrm{eq}}=R_1+R_2$, et pour N résistances $R_{\mathrm{eq}}=\sum_{i=1}^{N}R_i$.

📐 Formule — Pour deux résistances en parallèle, la résistance équivalente vérifie $\frac{1}{R_{\mathrm{eq}}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$ et donc $R_{\mathrm{eq}}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$.

📌 Un interrupteur ouvert impose un courant nul quelle que soit la tension à ses bornes, tandis qu’un interrupteur fermé impose une tension nulle quelle que soit l’intensité du courant.

• Un générateur de tension idéal délivre une tension constante E indépendante du courant qui le traverse.

📐 Formule — Un générateur de tension réel est modélisé par une f.é.m. E en série avec une résistance interne r et vérifie $U=E-rI$.

📐 Formule — Un générateur de courant idéal délivre un courant constant I0 indépendant de la tension à ses bornes, tandis qu’un générateur réel vérifie $I=I_0-\frac{U}{r}$.

Compléments

📌 Les représentations de Thévenin et de Norton d’un même générateur sont équivalentes lorsque $I_0=\frac{E}{r}$.

💡 Astuce mémo

Générateur de tension : U imposée ; générateur de courant : I imposé

📖 6. Lois de Kirchhoff et diviseurs

★ À maîtriser

📌 Les théorèmes généraux étudiés s’appliquent aux circuits constitués de dipôles linéaires en régime stationnaire ou permanent, et restent valables en approximation des régimes quasi-stationnaires.

📌 La loi des nœuds affirme que la somme des courants entrants dans un nœud est égale à la somme des courants sortants.

📐 Formule — La loi des mailles affirme que la somme algébrique des tensions d’une maille est nulle : $\sum_{i=1}^{N}U_i=0$.

📐 Formule — Dans un diviseur de tension formé de deux résistances en série, les tensions vérifient $U_1=\frac{R_1}{R_1+R_2}E$ et $U_2=\frac{R_2}{R_1+R_2}E$.

📐 Formule — Dans un diviseur de courant formé de deux résistances en parallèle, les courants vérifient $I_1=\frac{R_2}{R_1+R_2}I_0$ et $I_2=\frac{R_1}{R_1+R_2}I_0$.

Compléments

📐 Formule — Avec des courants algébriques, la loi des nœuds s’écrit $\sum_{i=1}^{N}\varepsilon_i I_i=0$, avec $\varepsilon_i=+1$ pour un courant entrant et $\varepsilon_i=-1$ pour un courant sortant.

💡 Astuce mémo

Nœuds pour les courants, mailles pour les tensions, puis diviseurs

📖 7. Diviseurs de tension et de courant

📝 Points essentiels

📐 Formule — Dans un diviseur de tension constitué d’un générateur idéal E et de deux résistances en série R1 et R2, le courant vaut $I=\frac{E}{R_1+R_2}$.

📐 Formule — Les tensions aux bornes des résistances d’un diviseur de tension sont $U_1=\frac{R_1}{R_1+R_2}E$ et $U_2=\frac{R_2}{R_1+R_2}E$.

📐 Formule — Dans un diviseur de courant constitué d’un générateur idéal I0 et de deux résistances en parallèle, les courants de branche sont $I_1=\frac{R_2}{R_1+R_2}I_0$ et $I_2=\frac{R_1}{R_1+R_2}I_0$.

💡 Astuce mémo

Série → diviseur de tension ; parallèle → diviseur de courant

📖 8. Thévenin et Norton

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de Thévenin : Tout circuit composé uniquement de dipôles linéaires et comportant deux bornes A et B est équivalent à un générateur de tension de f.é.m. Eth et de résistance interne Rth montés en série.
• Théorème de Norton : Tout circuit composé uniquement de dipôles linéaires et comportant deux bornes A et B est équivalent à un générateur de courant IN et de résistance interne RN montés en parallèle.

📝 Points essentiels

📌 Dans le modèle de Thévenin, Eth est la tension à vide UAB et Rth est la résistance équivalente obtenue en remplaçant les générateurs de tension idéaux par des courts-circuits et les générateurs de courant idéaux par des branches ouvertes.

📐 Formule — Les résistances internes des modèles de Thévenin et de Norton sont identiques et leur équivalence vérifie $U_{AB}=E_{th}=R_N I_N$.

💡 Astuce mémo

Thévenin impose une tension en série ; Norton impose un courant en parallèle

📖 9. Puissance et énergie en continu

📝 Points essentiels

📐 Formule — La puissance reçue par un dipôle quelconque est $P=UI$.

📐 Formule — La puissance dissipée par effet Joule dans une résistance est $P_J=UI=RI^2=\frac{U^2}{R}$.

📐 Formule — Pour un générateur réel de f.é.m. E et de résistance interne r, la puissance fournie au circuit est $P=EI-rI^2$ et son rendement est $\eta=1-\frac{rI}{E}$.

📐 Formule — Le bilan de puissance d’un circuit en régime continu s’écrit $P_G=P_J+P_u$, où PG est la puissance fournie par les générateurs, PJ la puissance dissipée et Pu la puissance utilisée.

📐 Formule — L’énergie électrique reçue ou fournie pendant une durée t vaut $E=P\times t$, avec $1\,Wh=3600\,J$ et $1\,kWh=3{,}6\times10^6\,J$.

💡 Astuce mémo

Puissance dissipée → chaleur par effet Joule ; puissance utile → conversion mécanique ou chimique

📖 10. ARQS et condensateur

🔑 Notions clés & Définitions

• ARQS : Dans l’approximation des régimes quasi-stationnaires, la durée de propagation d’une modification dans le circuit est considérée comme infiniment plus courte que la durée caractéristique du régime variable, de sorte que les lois des régimes stationnaires restent valables à chaque instant.
• Condensateur : Constitué de deux armatures conductrices séparées par le vide ou un isolant, et sa charge vérifie $q=Cu$, où C est la capacité exprimée en farads.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour des condensateurs en parallèle, la capacité équivalente est $C_{eq}=\sum_{i=1}^{N}C_i$.

📐 Formule — Pour des condensateurs en série, la capacité équivalente vérifie $\frac{1}{C_{eq}}=\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{C_i}$ et tous les condensateurs portent la même charge.

📐 Formule — Lors de la charge d’un condensateur initialement déchargé à travers une résistance, sa tension évolue selon $u_C(t)=E\left(1-\exp\left(-\frac{t}{RC}\right)\right)$ et la constante de temps vaut $\tau=RC$.

Compléments

📌 Un condensateur est considéré comme complètement chargé ou déchargé après une durée supérieure à 5τ.

💡 Astuce mémo

Charge → régime transitoire → régime permanent

📖 11. Bobine et circuits RL

🔑 Notions clés & Définitions

• Bobine : Un fil conducteur enroulé formant une ou plusieurs spires, dans lequel un courant variable produit un phénomène d’auto-induction caractérisé par une inductance L exprimée en henrys.

★ À maîtriser

📐 Formule — La f.é.m. induite d’une bobine en convention générateur est $e=-L\frac{di}{dt}$, tandis que sa tension en convention récepteur est $u_L=L\frac{di}{dt}$.

📐 Formule — Dans un circuit RL soumis à une tension E, le courant d’établissement est $i(t)=\frac{E}{R}\left(1-\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)\right)$ avec $\tau=\frac{L}{R}$.

📌 En régime permanent continu, une bobine idéale se comporte comme un court-circuit et le courant tend vers E/R.

Compléments

📌 Un condensateur réel est modélisé par une résistance de fuite Rc en parallèle avec le condensateur idéal, tandis qu’une bobine réelle est modélisée par une résistance interne rL en série avec la bobine idéale.

💡 Astuce mémo

Condensateur ouvert en continu ; bobine court-circuitée en régime permanent

📖 12. Grandeurs sinusoïdales

★ À maîtriser

📐 Formule — Une grandeur sinusoïdale s’écrit sous la forme $u(t)=\hat U\cos(\omega t+\varphi)$, avec $\omega=2\pi f$ et $T=1/f$.

📐 Formule — Le déphasage entre deux grandeurs sinusoïdales vérifie $\Delta\varphi=\frac{2\pi\Delta t}{T}$, avec un déphasage positif pour une avance et négatif pour un retard.

📐 Formule — La valeur moyenne d’un signal sinusoïdal est nulle et sa valeur efficace vaut $U_{eff}=\frac{\hat U}{\sqrt{2}}$.

Compléments

📌 La représentation de Fresnel associe à une sinusoïde un vecteur dont la norme est l’amplitude et dont l’angle est la phase à l’origine, ce qui permet d’additionner les sinusoïdes vectoriellement.

💡 Astuce mémo

Valeur moyenne nulle ; valeur efficace mesurée et dissipative

📖 13. Impédances et puissance alternative

★ À maîtriser

📌 En régime sinusoïdal, une résistance ne crée aucun déphasage, un condensateur retarde la tension de π/2 par rapport au courant et une bobine avance la tension de π/2 par rapport au courant.

📐 Formule — La loi d’Ohm généralisée en représentation complexe est $\hat U=Z\hat I$, où Z est l’impédance complexe.

📐 Formule — Les impédances complexes d’une résistance, d’une bobine et d’un condensateur sont respectivement $Z_R=R$, $Z_L=j\omega L$ et $Z_C=\frac{1}{j\omega C}$.

📐 Formule — Les impédances en série s’additionnent selon $Z_{eq}=\sum_{k=1}^{N}Z_k$, tandis qu’en parallèle leurs inverses s’additionnent selon $\frac{1}{Z_{eq}}=\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{Z_k}$.

📐 Formule — La puissance moyenne en régime sinusoïdal vaut $P=UI\cos\varphi$, tandis que la puissance apparente vaut $S=UI$.

Compléments

📐 Formule — Pour une impédance $Z=R+jX$, le facteur de puissance vérifie $\cos\varphi=\frac{R}{|Z|}$ et la puissance active dissipée vaut $P=RI^2$.

💡 Astuce mémo

Résistance : phase nulle ; bobine : avance ; condensateur : retard

📖 14. Puissance instantanée et active

🔑 Notions clés & Définitions

• Facteur de puissance : Nombre sans dimension $\cos(\varphi)=\frac{\operatorname{Re}(Z)}{|Z|}=\frac{R}{|Z|}$.
• Puissance apparente : La puissance apparente est définie par $S=UI$ et s’exprime en volt-ampères (V.A).

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour un courant sinusoïdal de référence $i(t)=\hat I\cos(\omega t)$ et une tension déphasée de φ, la puissance instantanée vaut $p(t)=\frac{\hat U\hat I}{2}\left[\cos(\varphi)+\cos(2\omega t+\varphi)\right].$

📐 Formule — La puissance moyenne, ou puissance active, vaut $P=UI\cos(\varphi)$ en valeurs efficaces.

📐 Formule — Pour une impédance $Z=R+jX$, la puissance active dissipée par effet Joule vaut $P=RI^2$ en valeurs efficaces, ou $P=\frac{R\hat I^2}{2}$ avec l’amplitude crête.

💡 Astuce mémo

Déphasage tension-courant → puissance oscillante et puissance moyenne

📖 15. Puissance complexe et réactive

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance complexe : Nombre $\underline{P}=P+jQ$ dont la partie réelle P est la puissance active et la partie imaginaire Q la puissance réactive.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une impédance $Z=R+jX$, les composantes de la puissance complexe sont $P=RI^2$ et $Q=XI^2$ en valeurs efficaces.

📐 Formule — Le module de la puissance complexe est la puissance apparente, avec $S=|\underline{P}|=UI=\sqrt{P^2+Q^2}.$

Compléments

📐 Formule — En fonction du déphasage, les puissances vérifient $P=UI\cos(\varphi)=S\cos(\varphi)$ et $Q=UI\sin(\varphi)=S\sin(\varphi).$

📌 Les appareils à moteurs bobinés tendent à avoir un facteur de puissance cos(φ) faible et inductif, et un condensateur placé en parallèle sert à le redresser vers 1.

💡 Astuce mémo

Partie réelle P active, partie imaginaire Q réactive

📖 16. Résonance du circuit RLC série

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un circuit RLC série, l’impédance complexe vaut $Z=R+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right).$

📐 Formule — Avec la tension comme référence des phases, le courant complexe est $\hat I=\frac{\hat U}{R+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)}.$

📐 Formule — L’amplitude du courant dans le circuit RLC série vaut $I=\frac{U}{\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2}}.$

📐 Formule — La résonance est atteinte lorsque $\omega_0L-\frac{1}{\omega_0C}=0$, ce qui donne $\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ et $f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}.$

• À la résonance, l’amplitude du courant est maximale, le déphasage est nul et le dipôle RLC se comporte comme s’il ne comprenait que la résistance R.

Compléments

📐 Formule — Le déphasage du courant par rapport à la tension vaut $\varphi=-\arctan\left(\frac{\omega L-\frac{1}{\omega C}}{R}\right).$

💡 Astuce mémo

Impédance → courant → résonance

📖 17. Propriétés des dipôles élémentaires

📝 Points essentiels

• Pour une résistance pure, l’impédance est $Z_R=R$, son module vaut R, le déphasage tension-courant est nul et la puissance active par effet Joule est non nulle.

• Pour une bobine idéale, l’impédance est $Z_L=j\omega L$, son module vaut $\omega L$, le déphasage tension-courant est $+\frac{\pi}{2}$ et la puissance active est nulle.

• Pour un condensateur idéal, l’impédance est $Z_C=\frac{1}{j\omega C}$, son module vaut $\frac{1}{\omega C}$, le déphasage tension-courant est $-\frac{\pi}{2}$ et la puissance active est nulle.

💡 Astuce mémo

Résistance : 0 ; bobine : +π/2 ; condensateur : −π/2

📊 Tableaux de synthèse

Mesure et lois des circuits

Équivalents de Thévenin et Norton